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设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\} = \frac{1}{2^{k+1}} + \frac{1}{3^k} \ (k=1,2,\dots)$，则对于正整数$m$、$n$有 ( )

设随机变量$X$的概率分布为$P\{X=k\}=\dfrac{1}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{3^{k}} \quad (k=1,2,\dots)$，则对于正整数$m$、$n$有（ ）

设 $A,B$ 为两个不同的随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 相互独立, 已知 $P(A) = 2P(B)$, $P(A \cup B) = \frac{5}{8}$, 则在 $A,B$ 至少有一个发生的条件下, $A,B$ 中恰有一个发生的概率为$\underline{\qquad}$。

设 $A,B,C$ 为随机事件，且 $A$ 与 $B$ 互不相容，$A$ 与 $C$ 互不相容，$B$ 与 $C$ 相互独立，$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$，则 $P(B\cup C\mid A\cup B\cup C)=\underline{\qquad}$。

设$A,B,C$为随机事件，且$A$与$B$互不相容，$A$与$C$互不相容，$B$与$C$相互独立，$P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{1}{3}$，则$P(B \cup C | A \cup B \cup C) = \underline{\qquad}.$

设$A,B,C$为3个随机事件，且$A$与$B$相互独立，$B$与$C$相互独立，$A$与$C$互不相容，已知$P(A)=P(C)=\dfrac{1}{4}$,$P(B)=\dfrac{1}{2}$,则在事件$A,B,C$中至少有一个发生的条件下,$A,B,C$中恰有一个发生的概率为$\underline{\qquad}$