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#4选择题来源：301-2026
已知有界区域 $\Omega$ 由曲面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 与 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 围成,函数 $f(u)$ 连续,则 $\iiint_{\Omega} f(x^2 + y^2 + z^2) dx dy dz = $ ( )
  • A. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} dr \int_{r}^{\sqrt{4 - r^2}} f(r^2 + z^2) r dz$
  • B. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} dr \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} f(r^2 + z^2) r dz$
  • C. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\varphi \int_{0}^{2} f(r^2) r^2 \sin\varphi dr$
  • D. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int_{0}^{2} f(r^2) r^2 \sin\varphi dr$
三重积分运用球面坐标计算三重积分换元积分法
#19解答题来源：301-2023
设空间有界区域 $\Omega$ 由柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z = 0$ 和 $x + z = 1$ 围成。$\Sigma$ 为 $\Omega$ 的边界曲面的外侧。计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma}2xzdydz + xz\cos ydzdx + 3yz\sin xdxdy$。
对坐标的曲面积分高斯公式三重积分
#20解答题来源：301-2025
设 $\Sigma$ 是由直线 $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ 绕直线 $\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$（$t$ 为参数）旋转一周得到的曲面, $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x + y + z = 0$ 与平面 $x + y + z = 1$ 之间部分的外侧, 计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma_1} x \mathrm{d}y\mathrm{d}z + (y + 1) \mathrm{d}z\mathrm{d}x + (z + 2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
对坐标的曲面积分高斯公式三重积分