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设向量 $\vec{v}_1=(0,x,z)$, $\vec{v}_2=(y,0,1)$, 令 $\vec{F}(x,y,z) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$, 则 $\text{div}\ \vec{F} = \underline{\qquad}.$

设$\Sigma$为空间区域 $\{(x,y,z)|x^2+4y^2\leq4,0\leq z\leq2\}$ 表面的外侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma}x^2dydz+y^2dzdx+zdxdy=$ $\underline{\qquad}$。

设空间有界区域 $\Omega$ 由柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z = 0$ 和 $x + z = 1$ 围成。$\Sigma$ 为 $\Omega$ 的边界曲面的外侧。计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma}2xzdydz + xz\cos ydzdx + 3yz\sin xdxdy$。

已知$\Sigma$为曲面$4x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0)$的上侧，$L$为$\Sigma$的边界曲线，其正向与$\Sigma$的法向量满足右手法则，计算曲线积分 $I=\int_{L}(yz^{2}-\cos z)\,dx+2xz^{2}\,dy+(2xyz+x\sin z)\,dz$。

设 $\Sigma$ 是由直线 $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ 绕直线 $\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$（$t$ 为参数）旋转一周得到的曲面, $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x + y + z = 0$ 与平面 $x + y + z = 1$ 之间部分的外侧, 计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma_1} x \mathrm{d}y\mathrm{d}z + (y + 1) \mathrm{d}z\mathrm{d}x + (z + 2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$。