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$\int_{0}^{2}dy\int_{y}^{2}\frac{y}{\sqrt{1+x^{3}}}\,dx=( )$

已知 $f(x)=\int_{0}^{\sin x}\sin t^{3}\,dt,\,g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$，则( )

已知有界区域 $\Omega$ 由曲面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 与 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 围成,函数 $f(u)$ 连续,则 $\iiint_{\Omega} f(x^2 + y^2 + z^2) dx dy dz = $ ( )

若函数 $f(a)=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{a+1}}$ 在 $a=a_0$ 处取得最小值,则 $a_0=( )$

$\int_{0}^{1} x\left(x-1\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)dx = \underline{\qquad}$

$\int_{0}^{2} \dfrac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} \mathrm{d}x = \underline{\qquad}.$

$\int_{0}^{1}{\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}\,\mathrm{d}x}=\underline{\qquad}$.

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x + 2) - f(x) = x$, $\int_0^2 f(x)dx = 0$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\qquad}$。

已知函数$f(x) = \begin{cases} e^x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$则$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y - x) \mathrm{d}y = \underline{\qquad}.$

计算$\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)}\,dx$.

计算$\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)} \mathrm{d}x$.

计算 $I = \int_{-1}^{1} dx \int_{|x|}^{\sqrt{2-x^2}} y \sin \sqrt{x^2+y^2} dy$

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid y-2\le x\le \sqrt{4-y^{2}},\ 0\le y\le 2\}$，计算$I=\iint_{D}\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dxdy$。

已知函数 $g(x)$ 连续，$f(x) = \int_{0}^{x^{2}} g(xt) dt$，求 $f'(x)$ 的表达式，并判断 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性

已知平面区域 $D=\left\{(x,y)\mid 0\leq y\leq \frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}},\ x\geq 1\right\}$。 (I) 求 $D$ 的面积； (II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。

设有界区域$D$是圆$x^2 + y^2 = 1$和直线$y = x$以及$x$轴在第一象限围成的部分. 计算二重积分 $$\iint\limits_D e^{(x+y)^2} (x^2 - y^2) \mathrm{d}x \mathrm{d}y.$$

设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^{1} f(x) dx =0$, 记 $a = \int_{0}^{1} f(x) dx$。(1) 证明: $a>0$;(2) 令 $F(x) = a(1-x^2) + \int_{1}^{x} f(t) dt$, 证明: 存在 $\xi \in (-1,1)$ 使 $F''(\xi)=0$。

设平面有界区域$D$位于第一象限,由曲线$x^2+y^2-xy=1,x^2+y^2-xy=2$与直线$y=\sqrt{3}x,y=0$围成,计算$\iint_D\frac{1}{3x^2+y^2}dxdy$.

设平面区域 $D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$，计算二重积分 $$\iint_D \dfrac{y}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} dx dy.$$