题目查询

设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^{1} f(x) dx =0$, 记 $a = \int_{0}^{1} f(x) dx$。(1) 证明: $a>0$;(2) 令 $F(x) = a(1-x^2) + \int_{1}^{x} f(t) dt$, 证明: 存在 $\xi \in (-1,1)$ 使 $F''(\xi)=0$。

设函数$f(x)$具有2阶导数，且$f'(0)=f'(1)$，$|f''(x)|\leq 1$。证明： (I) 当$x\in(0,1)$时，$\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|\leq \frac{x(1-x)}{2}$； (II) $\left|\int_{0}^{1}f(x)\,dx-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leq \frac{1}{12}$。