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设$I=\int_{\alpha}^{\alpha+k\pi}|\sin x|\mathrm{d}x,k$为整数, 则$I$的值

已知 $f(x)=\int_{0}^{\sin x}\sin t^{3}\,dt,\,g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$，则( )

$I_1=\int_{0}^{1} \frac{x}{2(1+\cos x)}dx,\ I_2=\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+\cos x}dx,\ I_3=\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+\sin x}dx$,则

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_0^1f(x)dx=$（）

若$I_1=\int_0^1\dfrac{x}{2(1+\cos x)}\,dx,I_2=\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+\cos x}\,dx,I_3=\int_0^1\dfrac{2x}{1+\sin x}\,dx$，则( )

设线密度为 1 的细直棒的两个端点分别位于点 $(-1,0)$ 和点 $(1,0)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $(0,1)$ 处，$G$ 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为 ( )

设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $p(t)$，某机构持有该证券的份额为 $q(t)$，若该机构在 $[0,T]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 ( )

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续,则 $\int_{0}^{1}f(x)dx$=( ).

若 $I_{1}=\int_{0}^{1}\frac{x}{2(1+\cos x)}\,dx,I_{2}=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+\cos x}\,dx,I_{3}=\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+\sin x}\,dx$, 则( )

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}\left[\ln\frac{1}{n}+2\ln\frac{2}{n}+\cdots+(n-1)\ln\frac{n-1}{n}\right]=\underline{\qquad}$。

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)-f(x)=x,\int_{0}^{2}{f(x)\,dx}=0$，则 $\int_{1}^{3}{f(x)\,dx}=\underline{\qquad}$.

函数$f(x)=\ln(2+x)$在区间$[0,2]$上的平均值为$\underline{\qquad}$

设函数 $f(x)$ 具有2阶导数, 且 $f'(0) = f'(1)$, $|f''(x)| \leq 1$, 证明：(1) 当 $x \in (0,1)$ 时, $|f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x| \leq \frac{x(1 - x)}{2}$；(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) dx - \frac{f(0) + f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$

设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^{1} f(x) dx =0$, 记 $a = \int_{0}^{1} f(x) dx$。(1) 证明: $a>0$;(2) 令 $F(x) = a(1-x^2) + \int_{1}^{x} f(t) dt$, 证明: 存在 $\xi \in (-1,1)$ 使 $F''(\xi)=0$。

设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有$2$阶连续导数，证明：$f''(x)\ge 0$的充分必要条件是对不同的实数$a,b$，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$。

设函数$f(x)$具有2阶导数,且$f'(0)=f'(1)$,$|f''(x)|\leqslant 1$.证明: (Ⅰ) 当$x\in(0,1)$时, $\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|\leqslant\dfrac{x(1-x)}{2}$; (Ⅱ) $\left|\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x - \dfrac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leqslant\dfrac{1}{12}$.

设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有2阶连续导数,证明:$f''(x)\geq 0$的充分必要条件是对不同的实数$a,b$, $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

设函数$f(x)$具有2阶导数，且$f'(0)=f'(1)$，$|f''(x)|\leq 1$。证明： (I) 当$x\in(0,1)$时，$\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|\leq \frac{x(1-x)}{2}$； (II) $\left|\int_{0}^{1}f(x)\,dx-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leq \frac{1}{12}$。