题目查询

函数 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x\leqslant0, \\ (x+1)\cos x, & x>0 \end{cases}$ 的一个原函数为( )

$\int_{1}^{e^2}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=\underline{\qquad}$。

设 $f(x)$ 是周期为2的周期函数，且 $f(x) = 1 - x, x \in [0,1]$，若 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\pi x$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_{2n} = \underline{\qquad}$。

设平面区域$D$由曲线 $y = \sqrt{x}\sin\pi x(0\leqslant x\leqslant1)$ 与$x$轴围成，则$D$绕$x$轴旋转所成的旋转体的体积为 $ \underline{\qquad}$.

设 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x+1)}{x^2} dx = \underline{\qquad}.$

设某公司在$t$时刻的资产为$f(t)$,从$0$时刻到$t$时刻的平均资产等于$\dfrac{f(t)}{t} - t$.假设$f(t)$连续且$f(0) = 0$,则$f(t) = \underline{\qquad}$

函数$f(x)=\ln(2+x)$在区间$[0,2]$上的平均值为$\underline{\qquad}$

设函数$y(x)$是微分方程$y' + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x}$满足条件$y(1) = 3$的解,求曲线$y = y(x)$的渐近线.

计算 $I = \int_{-1}^{1} dx \int_{|x|}^{\sqrt{2-x^2}} y \sin \sqrt{x^2+y^2} dy$

设$t>0$，平面有界区域$D$由曲线$y=\sqrt{x}e^{-x}$与直线$x=t$、$x=2t$及$x$轴围成，$D$绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。