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已知函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} \sin t dt$, $g(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x$, 则

已知函数 $f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\sin t\,dt,\ g(x)=\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt\right)\cdot \sin^{2} x$，则 $(\ )$

已知函数$f(x)=\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^2}\sin tdt,g(x)=\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^2}dt\cdot\sin^2x$, 则

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义,则 ( )

设函数$f(x)=ax-b\ln x(a>0)$有两个零点，则$\dfrac{b}{a}$的取值范围是（ ）。

设函数 $f(x)=ax-b\ln x(a>0)$ 有2个零点,则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是( ).

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则 ( )

若函数 $f(a)=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{a+1}}$ 在 $a=a_0$ 处取得最小值,则 $a_0=( )$

设函数 $f(x)=(x^{2}+a)e^{x}$,若 $f(x)$ 没有极值点,但曲线 $y=f(x)$ 有拐点,则 $c$ 的取值范围是( )

当 $x\geq 0,y\geq 0$ 时，$x^2+y^2\leq ke^{x+y}$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$。

设某商品价格$P=\begin{cases}25-0.25Q, & Q \leqslant 20, \\ 35-0.75Q, & Q>20\end{cases}$，其中$Q$为产量，总成本函数$C=150+5Q+0.25Q^2$，求利润的最大值为$\underline{\qquad}$万元.

设曲线 $y = y(x)(x > 0)$ 经过点 $(1,2)$，该曲线上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距。 (1) 求 $y(x)$； (2) 求函数 $f(x) = \int_1^x y(t)dt$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值。

设曲线 $L:y=y(x)\ (x>e)$ 经过点 $(e^{2},0)$，$L$ 上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距。 (I) 求 $y(x)$； (II) 在 $L$ 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积。

已知可导函数 $y = y(x)$ 满足 $ae^x + y^2 + y - \ln(1 + x)\cos y + b = 0$, 且 $y(0) = 0, y'(0) = 0$. ( I ) 求 $a,b$ 的值; (Ⅱ) 判断 $x = 0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.

设$t>0$，平面有界区域$D$由曲线$y=\sqrt{x}e^{-x}$与直线$x=t$、$x=2t$及$x$轴围成，$D$绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。

设$t>0$，平面有界区域$D$由曲线$y = x\mathrm{e}^{-2x}$与直线$x = t$，$x = 2t$及$x$轴围成，$D$的面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

设函数 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上具有2阶连续导数。证明: (1) 若 $f(0) = 0$，则存在 $\xi \in (-a,a)$，使得 $f''(\xi) = \frac{1}{a^2}[f(a) + f(-a)]$； (2) 若 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in (-a,a)$，使得 $|f''(\eta)| \geq \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|$。

设函数$ y=y(x) $(x$>0$)满足微分方程$ xy'-6y=-6 $，且满足$ y(\sqrt{3})=10 $。 (I) 求$ y(x) $； (II) $P$为曲线$ y=y(x) $上的一点，曲线$ y=y(x) $在点$P$的法线在$y$轴上截距为$I_P$，为使$I_P$最小，求$P$的坐标。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有2阶连续导数. 证明： （Ⅰ）若$f(0)=0$，则存在$\xi \in (-a,a)$，使得$f''(\xi) = \dfrac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$； （Ⅱ）若$f(x)$在$(-a,a)$内取得极值，则存在$\eta \in (-a,a)$，使得$|f''(\eta)| \geqslant \dfrac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有2阶连续导数.证明: (I)若$f(0)=0$,则存在$\xi\in(-a,a)$,使得$f''(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$; (II)若$f(x)$在$(-a,a)$内取极值,则存在$\eta\in(-a,a)$,使得$|f''(\eta)|\geq\frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$.