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设$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{\ln x} = 1$,则( ).

设函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{e^x-1}{x},&x\neq0,\\1,&x=0\end{cases}$，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（）

函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{e^{x}-1}{x},& x\ne 0,\\1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处( ).

函数$f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^x-1}{x}, & x\ne 0,\\1, & x=0\end{cases}$，在$x=0$处（ ）。

设函数 $y = f(x)$ 由 $\begin{cases} x = 2t + |t| \\ y = |t|\sin t \end{cases}$ 确定，则（）

设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处有二阶导数, 则( )

设函数$f(x)=ax-b\ln x(a>0)$有两个零点，则$\dfrac{b}{a}$的取值范围是（ ）。

已知函数 $f(x) = \int_{1}^{x} \dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}dt$，$f$ 的反函数为 $g$，则 ( )

设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有定义, 且 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, 则()

设函数 $y=f(x)$ 由 $\begin{cases}x=2t+|t|\\t=|t|\sin t\end{cases}$ 确定,则( )

设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件： ① $\lim_{x\to 0}\frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在； ② $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在； ③ $\lim_{x\to 0}\frac{|f(x)|}{x}$ 存在； ④ $\lim_{x\to 0}\frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在， 其中能得到“$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导”的条件个数是 $(\ )$

已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f\left(e^{x^2}\right)-3f\left(1+\sin^2 x\right)}{x^2}=2$，求$f'(1)$.

设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x f(x)-e^{2\sin x}+1}{\ln(1+x)+\ln(1-x)}=-3$，证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f'(0)$。

设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{xf(x) - \mathrm{e}^{2\sin x} + 1}{\ln(1+x) + \ln(1-x)} = -3$，证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f'(0)$.

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导.证明导函数 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是:对 $(a,b)$ 内任意的 $x_1,x_2,x_3$, 当 $x_1 < x_2 < x_3$ 时 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 -x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 -x_2}$。

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，证明：导函数$f'(x)$在$(a,b)$内严格单调增加的充分必要条件是对$(a,b)$内任意的$x_1,x_2,x_3$，当$x_1 < x_2 < x_3$时，$\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \dfrac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}$.

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，证明：导函数$f'(x)$在$(a,b)$内严格单调增加的充分必要条件是对$(a,b)$内任意的$x_1,x_2,x_3$，当$x_1<x_2<x_3$时，$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$.