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设函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{e^x-1}{x},&x\neq0,\\1,&x=0\end{cases}$，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（）

当$x\to 0^+$时，下列无穷小量中，与$x$等价的是

已知当$x \to 0$时，$ax^2 + bx + \arcsin x$与$\sqrt[3]{1 + x^2} - 1$是等价无穷小，则 ( )

设函数 $f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 处的3次泰勒多项式为 $ax+bx^2+cx^3$，则（）

已知 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足:$x_1=y_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\sin x_n,y_{n+1}=y_n^{2}(n=1,2,\cdots)$,则当 $n\to\infty$ 时,( )

设函数 $f(x)=\sec x$ 在 $x=0$ 处的2次泰勒多项式为 $1+ax+bx^2$,则( ).

当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = ax + bx^2 + \ln(1 + x)$ 与 $g(x) = e^{x^2} - \cos x$ 是等价无穷小，则 $ab = \underline{\qquad}$。

当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x)=ax+bx^{2}+\ln(1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $ab=\underline{\qquad}$.

$\lim\limits_{x \to \infty} x^2 \left(2 - x \sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}\right) = \underline{\qquad}$

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x\sin x} \right) = \underline{\qquad}.$

曲线$y=\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$的渐近线方程为$\underline{\qquad}$。

设$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right) = \underline{\qquad}$

求极限 $\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\int_0^xe^{t^2}dt}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$。

设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x f(x)-e^{2\sin x}+1}{\ln(1+x)+\ln(1-x)}=-3$，证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f'(0)$。

设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{xf(x) - \mathrm{e}^{2\sin x} + 1}{\ln(1+x) + \ln(1-x)} = -3$，证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f'(0)$.

设函数 $f(x)$ 具有2阶导数, 且 $f'(0) = f'(1)$, $|f''(x)| \leq 1$, 证明：(1) 当 $x \in (0,1)$ 时, $|f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x| \leq \frac{x(1 - x)}{2}$；(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) dx - \frac{f(0) + f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$

设函数 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上具有2阶连续导数。证明: (1) 若 $f(0) = 0$，则存在 $\xi \in (-a,a)$，使得 $f''(\xi) = \frac{1}{a^2}[f(a) + f(-a)]$； (2) 若 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in (-a,a)$，使得 $|f''(\eta)| \geq \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|$。

设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有$2$阶连续导数，证明：$f''(x)\ge 0$的充分必要条件是对不同的实数$a,b$，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有2阶连续导数. 证明： （Ⅰ）若$f(0)=0$，则存在$\xi \in (-a,a)$，使得$f''(\xi) = \dfrac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$； （Ⅱ）若$f(x)$在$(-a,a)$内取得极值，则存在$\eta \in (-a,a)$，使得$|f''(\eta)| \geqslant \dfrac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$。

设函数$f(x)$具有2阶导数,且$f'(0)=f'(1)$,$|f''(x)|\leqslant 1$.证明: (Ⅰ) 当$x\in(0,1)$时, $\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|\leqslant\dfrac{x(1-x)}{2}$; (Ⅱ) $\left|\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x - \dfrac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leqslant\dfrac{1}{12}$.

设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有2阶连续导数,证明:$f''(x)\geq 0$的充分必要条件是对不同的实数$a,b$, $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有2阶连续导数.证明: (I)若$f(0)=0$,则存在$\xi\in(-a,a)$,使得$f''(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$; (II)若$f(x)$在$(-a,a)$内取极值,则存在$\eta\in(-a,a)$,使得$|f''(\eta)|\geq\frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$.

设函数$f(x)$具有2阶导数，且$f'(0)=f'(1)$，$|f''(x)|\leq 1$。证明： (I) 当$x\in(0,1)$时，$\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|\leq \frac{x(1-x)}{2}$； (II) $\left|\int_{0}^{1}f(x)\,dx-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leq \frac{1}{12}$。