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设函数 $f(x)$ 具有2阶导数, 且 $f'(0) = f'(1)$, $|f''(x)| \leq 1$, 证明：(1) 当 $x \in (0,1)$ 时, $|f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x| \leq \frac{x(1 - x)}{2}$；(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) dx - \frac{f(0) + f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导.证明导函数 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是:对 $(a,b)$ 内任意的 $x_1,x_2,x_3$, 当 $x_1 < x_2 < x_3$ 时 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 -x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 -x_2}$。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有2阶连续导数. 证明： （Ⅰ）若$f(0)=0$，则存在$\xi \in (-a,a)$，使得$f''(\xi) = \dfrac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$； （Ⅱ）若$f(x)$在$(-a,a)$内取得极值，则存在$\eta \in (-a,a)$，使得$|f''(\eta)| \geqslant \dfrac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$。

设函数$f(x)$具有2阶导数,且$f'(0)=f'(1)$,$|f''(x)|\leqslant 1$.证明: (Ⅰ) 当$x\in(0,1)$时, $\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|\leqslant\dfrac{x(1-x)}{2}$; (Ⅱ) $\left|\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x - \dfrac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leqslant\dfrac{1}{12}$.

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，证明：导函数$f'(x)$在$(a,b)$内严格单调增加的充分必要条件是对$(a,b)$内任意的$x_1,x_2,x_3$，当$x_1 < x_2 < x_3$时，$\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \dfrac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}$.

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有2阶连续导数.证明: (I)若$f(0)=0$,则存在$\xi\in(-a,a)$,使得$f''(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$; (II)若$f(x)$在$(-a,a)$内取极值,则存在$\eta\in(-a,a)$,使得$|f''(\eta)|\geq\frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$.

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，证明：导函数$f'(x)$在$(a,b)$内严格单调增加的充分必要条件是对$(a,b)$内任意的$x_1,x_2,x_3$，当$x_1<x_2<x_3$时，$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$.