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曲线 $y = x\ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 的渐近线方程为（）。

当 $x \to 0$ 时, $\int_{0}^{x^{2}} \left(e^{t^{3}}-1\right) dt$ 是 $x^{7}$ 的( ).

若当 $x\to0$ 时, $\alpha(x),\beta(x)$ 是非零无穷小量, 则以下的命题中, ①若 $\alpha(x)\sim\beta(x)$, 则 $\alpha^{2}(x)\sim\beta^{2}(x)$; ②若 $\alpha^{2}(x)\sim\beta^{2}(x)$, 则 $\alpha(x)\sim\beta(x)$; ③若 $\alpha(x)\sim\beta(x)$, 则 $\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$; ④若 $\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x)\sim\beta(x)$, 真命题的序号为( )

曲线 $y=x\ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为( )

函数 $f(x)=\left|x\right|^\frac{1}{(1-x)(x-2)}$ 的第一类间断点的个数为( )

当$x\to 0$时，$\int_{0}^{x^2}(e^{t^3}-1)dt$是$x^7$的（ ）。

若当$x\to 0$时，$\alpha(x)$，$\beta(x)$是非零无穷小量，则以下的命题中， ①若$\alpha(x)\sim \beta(x)$，则$\alpha^2(x)\sim \beta^2(x)$； ②若$\alpha^2(x)\sim \beta^2(x)$，则$\alpha(x)\sim \beta(x)$； ③若$\alpha(x)\sim \beta(x)$，则$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$； ④若$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$，则$\alpha(x)\sim \beta(x)$。 真命题的序号为( )

当$x\to 0^+$时，下列无穷小量中，与$x$等价的是

已知当$x \to 0$时，$ax^2 + bx + \arcsin x$与$\sqrt[3]{1 + x^2} - 1$是等价无穷小，则 ( )

已知 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足:$x_1=y_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\sin x_n,y_{n+1}=y_n^{2}(n=1,2,\cdots)$,则当 $n\to\infty$ 时,( )

设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零。若当 $x\to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x\to 0$ 时，$(\ )$

设 $p$ 为常数, 若反常积分 $\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x^{p}(1-x)^{1-p}}\,dx$ 收敛, 则 $p$ 的取值范围是( )

当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = ax + bx^2 + \ln(1 + x)$ 与 $g(x) = e^{x^2} - \cos x$ 是等价无穷小，则 $ab = \underline{\qquad}$。

若 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+ax^2)^{\sin x} - 1}{x^3} = 6$, 则 $a =\underline{\qquad}$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - 1}{\ln x \cdot \ln(1 - x)} =$

$\lim\limits_{x \to 0}{\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)}^{\cot x}=\underline{\qquad}$.

当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x)=ax+bx^{2}+\ln(1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $ab=\underline{\qquad}$.

$\lim\limits_{x \to 0}\left(\dfrac{1 + e^x}{2}\right)^{\cot x} = \underline{\qquad}$

$x \to 0$时，$\int_{0}^{x} \dfrac{(1+t^2)\sin t^2}{1+\cos^2 t} dt$与$x^k$是同阶无穷小，则$k=$ $\underline{\qquad}$

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x\sin x} \right) = \underline{\qquad}.$

$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{1}{x}\left(\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x} - \dfrac{1}{\tan x}\right) = \underline{\qquad}$

已知函数 $f(x) = x + 1$, 若 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$, $x \in [0,\pi]$, 则 $\lim_{n \to \infty} n^2 \sin a_{2n-1} =\underline{\qquad}$

已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f\left(e^{x^2}\right)-3f\left(1+\sin^2 x\right)}{x^2}=2$，求$f'(1)$.