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$\int_{0}^{2}dy\int_{y}^{2}\frac{y}{\sqrt{1+x^{3}}}\,dx=( )$

设$I=\int_{\alpha}^{\alpha+k\pi}|\sin x|\mathrm{d}x,k$为整数, 则$I$的值

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_0^1f(x)dx=$（）

计算反常积分 $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+2x+2}dx=$ $\underline{\qquad}$。

设$\int_{1}^{+\infty}{\frac{a}{x(2x+a)}}\mathrm{d}x=\ln 2$，则$a=\underline{\qquad}$。

$\int_{0}^{1} x\left(x-1\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)dx = \underline{\qquad}$

曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x}{\sqrt{3-t^{3}}\,dt}$ 的弧长为 $\underline{\qquad}$.

$\int_{1}^{e^2}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=\underline{\qquad}$。

$\int_{\sqrt{5}}^{5}\dfrac{x}{\sqrt{|x^2 -9|}}\mathrm{d}x=$ $ \underline{\qquad}$.

$\int_{0}^{2} \dfrac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} \mathrm{d}x = \underline{\qquad}.$

设$\int_{1}^{+\infty}\dfrac{a}{x(2x+a)}dx=\ln2$，则$a=\underline{\qquad}$.

$\int_{2}^{+\infty} \dfrac{5}{x^4+3x^2-4} \mathrm{d}x =$ $\underline{\qquad}$

设 $f(x)$ 是周期为2的周期函数，且 $f(x) = 1 - x, x \in [0,1]$，若 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\pi x$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_{2n} = \underline{\qquad}$。

$\int_{0}^{1}{\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}\,\mathrm{d}x}=\underline{\qquad}$.

设平面区域$D$由曲线 $y = \sqrt{x}\sin\pi x(0\leqslant x\leqslant1)$ 与$x$轴围成，则$D$绕$x$轴旋转所成的旋转体的体积为 $ \underline{\qquad}$.

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x + 2) - f(x) = x$, $\int_0^2 f(x)dx = 0$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\qquad}$。

已知函数$f(x) = \begin{cases} e^x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$则$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y - x) \mathrm{d}y = \underline{\qquad}.$

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3\theta\,(0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3})$，则 $L$ 围成的有界区域的面积为 $\underline{\qquad}$.

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)-f(x)=x,\int_{0}^{2}{f(x)\,dx}=0$，则 $\int_{1}^{3}{f(x)\,dx}=\underline{\qquad}$.

某物体以速度 $v(t)=t+k\sin \pi t$ 做直线运动, 若它从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度是 $\dfrac{5}{2}$, 则 $k=\underline{\qquad}$.

函数$f(x)=\ln(2+x)$在区间$[0,2]$上的平均值为$\underline{\qquad}$

设曲线 $y = y(x)(x > 0)$ 经过点 $(1,2)$，该曲线上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距。 (1) 求 $y(x)$； (2) 求函数 $f(x) = \int_1^x y(t)dt$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值。

已知平面区域 $D = \{(x,y)|\sqrt{1 - y^2} \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\}$, 计算 $\iint_{D} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} dxdy$

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x^2 - 2x + 2)} dx$。

计算$\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)}\,dx$.

计算$\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)} \mathrm{d}x$.

已知函数 $f(x)$ 满足 $$f(x) = \dfrac{1}{(2-x)^2} - \int_0^1 f(x)dx,$$ 将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数。

设函数$y(x)$是微分方程$2xy'-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解,求曲线$y=y(x)$（$1\leq x\leq e$）的弧长.

设有向曲线 $L$ 为椭圆 $x^2 + 3y^2 =1$ 上沿逆时针方向从点 $A(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 到点 $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 的部分, 计算曲线积分$I = \int_{L} \left(e^{x^2}\sin x - 2xy\right) dx + \left(6x - x^2 - y\cos^4 y\right) dy.$

设函数$ f(x) $满足$ \int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{6}x^2-x+C $，$L$为曲线$ y=f(x) $(4$\leq x\leq$9)，$L$的弧长为$s$，$L$绕$x$轴旋转一周所形成的曲面面积为$A$，求$s$和$A$。