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函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}},&x\leq 0\\(x+1)\cos x,&x>0\end{cases}$ 的一个原函数为( )

函数 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x\leqslant0, \\ (x+1)\cos x, & x>0 \end{cases}$ 的一个原函数为( )

设$\int_{1}^{+\infty}{\frac{a}{x(2x+a)}}\mathrm{d}x=\ln 2$，则$a=\underline{\qquad}$。

计算$\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)} \mathrm{d}x$.

已知函数$f(u,v)$具有2阶连续偏导数，且函数$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$满足$\frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}-6\frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}=1$。 (I) 求$\frac{\partial^{2}f}{\partial u\partial v}$； (II) 若$\frac{\partial f(u,0)}{\partial u}=ue^{-u},\,f(0,v)=\frac{1}{50}v^{2}-1$，求$f(u,v)$的表达式。

求微分方程 $x^2 y'' - 2x y' - (y')^2 = 0 \left(x>2\right)$ 满足条件 $y\big|_{x=3} = \dfrac{1}{2}$，$y'\big|_{x=3} = -9$ 的解。