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设$f(u)$可导,$z=xyf(\frac{y}{x})$,若$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = xy(\ln y - \ln x)$,则( ).

设函数 $f(x,y)$ 可微，且 $f(x+1,e^x)=x(x+1)^2$，$f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则 $df(1,1)=$（）

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2cm/s,-3cm/s$, 当底面半径为 $10cm$, 高为 $5cm$ 时, 圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( ).

已知$f(t)$连续，令$F(x,y)=\int_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\,dt$，则( )

已知 $f(t)$ 连续, 令 $F(x,y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t)f(t)\,dt$, 则( )

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,e^x)=x(x+1)^2,f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$df(1,1)=$（ ）。

设函数 $f(x,y)$ 可微,且 $f(x+1,e^x)=x(x+1)^2,f(x,x^2)=2x^2\ln x$,则 $df(1,1)=( ).

曲面 $z = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为$\underline{\qquad}$。

设函数 $f(u,v)$ 具有2阶连续偏导数, 且 $df|_{(1,1)} = 3du + 4dv$, 令 $y = f(\cos x,1+x^2)$, 则 $\frac{d^2 y}{dx^2}\bigg|_{x=0} =\underline{\qquad}$

已知函数$f(x,y)$可微，且$df(0,0)=\pi dx + 3dy$，记$g(x)=f(\ln x,\sin\pi x)$，则$g'(1) = \underline{\qquad}$

求 $f(x,y) = (2x^2 - y^2)e^x$ 的极值。

已知函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内具有2阶导数, 记 $g(x,y) = f\left(\frac{x}{y}\right)$, 若 $g(x,y)$ 满足 $x^2\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + xy\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y} + y^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 1$, 且 $g(x,x) = 1$, $\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)} = \frac{2}{x}$, 求 $f(u)$。

求函数$f(x,y)=xe^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$的极值.

已知可微函数$f(u,v)$满足$\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}-\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}=2(u-v)e^{-(u+v)}$,且$f(u,0)=u^2e^{-u}$. (I) 记$g(x,y)=f(x,y-x)$,求$\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}$; (II) 求$f(u,v)$的表达式和极值.

已知函数$f(u,v)$具有2阶连续偏导数，且函数$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$满足$\frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}-6\frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}=1$。 (I) 求$\frac{\partial^{2}f}{\partial u\partial v}$； (II) 若$\frac{\partial f(u,0)}{\partial u}=ue^{-u},\,f(0,v)=\frac{1}{50}v^{2}-1$，求$f(u,v)$的表达式。