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设函数 $f(x,y)$ 可微，且 $f(x+1,e^x)=x(x+1)^2$，$f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则 $df(1,1)=$（）

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,e^x)=x(x+1)^2,f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$df(1,1)=$（ ）。

设函数 $f(x,y)$ 可微,且 $f(x+1,e^x)=x(x+1)^2,f(x,x^2)=2x^2\ln x$,则 $df(1,1)=( ).

已知函数$f(x,y)$满足$df(x,y) = \dfrac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}, f(1,1) = \dfrac{\pi}{4}$,则$f(\sqrt{3},3) = \underline{\qquad}$

已知函数$f(x,y)$可微，且$df(0,0)=\pi dx + 3dy$，记$g(x)=f(\ln x,\sin\pi x)$，则$g'(1) = \underline{\qquad}$

设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有3阶连续导数, 且存在可微函数 $F(x,y)$ 使$$dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy \quad (xy>0).$$(1) 证明: $\frac{f''(u)}{u} - \frac{f'(u)}{u} = c$, $c$为常数;(2) 设 $f(1)=1$, $f'(1)=-1$, $f''(1)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式。

设函数$f(x,y)$可微且满足$df(x,y)=-2x e^{-y}\,dx+e^{-y}(x^{2}-y-1)\,dy$，$f(0,0)=2$，求$f(x,y)$，并求$f(x,y)$的极值。