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已知函数$f(x,y)$满足$df(x,y) = \dfrac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}, f(1,1) = \dfrac{\pi}{4}$,则$f(\sqrt{3},3) = \underline{\qquad}$

已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y = 1 - x^2$ 从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的一段, 则曲线积分 $\int_{L} (y + \cos x)dx + (2x + \cos y)dy =$ $\underline{\qquad}$。

设有向曲线 $L$ 为椭圆 $x^2 + 3y^2 =1$ 上沿逆时针方向从点 $A(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 到点 $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 的部分, 计算曲线积分$I = \int_{L} \left(e^{x^2}\sin x - 2xy\right) dx + \left(6x - x^2 - y\cos^4 y\right) dy.$

设 $D\subset\mathbb{R}^2$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\iint_D(4-x^2-y^2)dxdy$ 取得最大值的积分区域为 $D_1$。(I) 求 $I(D_1)$ 的值；(II) 计算 $\int_{\partial D_1}\frac{(xe^{x^2+4y^2}+y)dx+(4ye^{x^2+4y^2}-x)dy}{x^2+4y^2}$，其中 $\partial D_1$ 是 $D_1$ 的正向边界。