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#3选择题来源：303-2024

已知$f(x,y)$连续, 则$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}x\int_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=$

A. $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\mathrm{d}y\int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$
B. $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\mathrm{d}y\int_{\frac{\pi}{2}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$
C. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y\int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$
D. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y\int_{\frac{\pi}{2}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$

利用直角坐标计算二重积分二重积分的概念与性质

#4选择题来源：301-2025

设函数 $f(x,y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^{2} dx \int_{4-x^2}^{4} f(x,y) dy =$

A. $\int_{0}^{4} \left[ \int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x,y)dx + \int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y)dx \right] dy$
B. $\int_{0}^{4} \left[ \int_{-2}^{\sqrt{4-y}} f(x,y)dx + \int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y)dx \right] dy$
C. $\int_{0}^{4} \left[ \int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x,y)dx + \int_{2}^{\sqrt{4-y}} f(x,y)dx \right] dy$
D. $2 \int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y)dx$

利用直角坐标计算二重积分二重积分的概念与性质

#4选择题来源：303-2025

设函数$f(x)$连续，则$\int_{0}^{1} dy\int_{0}^{y} f(x)dx=$

A. $\int_{0}^{1} xf(x)dx$.
B. $\int_{0}^{1} (1+x)f(x)dx$.
C. $\int_{0}^{1} (x-1)f(x)dx$.
D. $\int_{0}^{1} (1-x)f(x)dx$.

利用直角坐标计算二重积分二重积分的概念与性质

#5选择题来源：302-2025

设函数 $f(x,y)$ 连续，则 $\int_{-2}^{2} dx\int_{4-x^{2}}^{4} f(x,y)\,dy=(\ )$

A. $\int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y)\,dx\right]dy$
B. $\int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y)\,dx\right]dy$
C. $\int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx+\int_{2}^{\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\right]dy$
D. $2\int_{0}^{4} dy\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y)\,dx$

利用直角坐标计算二重积分二重积分的概念与性质

#7选择题来源：302-2026

设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}$ 上连续，且满足对称性 $f(x,y) = f(y,x)$，则 $$\iint_{D} f(x,y) dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f(x,y) dxdy$$

A. $2\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=n+1}^{n} f\left(\dfrac{i}{n}, \dfrac{j}{n}\right) \dfrac{1}{n^2}$
B. $\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} f\left(\dfrac{i}{n}, \dfrac{j}{n}\right) \dfrac{1}{n^2}$
C. $2\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{2n} \sum\limits_{j=1}^{2n+1-i} f\left(\dfrac{i}{2n}, \dfrac{j}{2n}\right) \dfrac{1}{n^2}$
D. $\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{2n} \sum\limits_{j=1}^{i} f\left(\dfrac{i}{2n}, \dfrac{j}{2n}\right) \dfrac{1}{n^2}$

二重积分的概念与性质利用对称性简化二重积分计算

#14填空题来源：303-2022

已知函数$f(x) = \begin{cases} e^x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$则$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y - x) \mathrm{d}y = \underline{\qquad}.$

二重积分的概念与性质换元积分法定积分的计算

#17解答题来源：302-2024

设平面有界区域$D$位于第一象限，由曲线$xy=\frac{1}{3}$，$xy=3$与直线$y=\frac{1}{3}x$，$y=3x$围成，计算$\iint\limits_{D}(1+x-y)\,dxdy$。

利用对称性简化二重积分计算二重积分的换元法二重积分的概念与性质

#17解答题来源：303-2024

（本题满分10分）设平面有界区域$D$位于第一象限，由曲线$xy = \dfrac{1}{3}$，$xy = 3$与直线$y = \dfrac{1}{3}x$，$y = 3x$围成，计算$\iint\limits_D (1 + x - y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

二重积分的换元法利用对称性简化二重积分计算二重积分的概念与性质

#19解答题来源：303-2022

已知平面区域$D = \{(x,y) \mid y - 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 - y^2}, 0 \leqslant y \leqslant 2\}$,计算$I = \iint\limits_D \dfrac{(x - y)^2}{x^2 + y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$.

利用极坐标计算二重积分二重积分的概念与性质定积分的换元法和分部积分法

#19解答题来源：303-2023

已知平面区域$D = \left\{(x,y) \mid (x - 1)^2 + y^2 \leqslant 1\right\}$,计算二重积分$\iint\limits_D \left| \sqrt{x^2 + y^2} - 1 \right| \mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

利用极坐标计算二重积分利用对称性简化二重积分计算二重积分的概念与性质

#19解答题来源：303-2025

已知平面有界区域$D = \left\{(x,y) \mid y^{2} \leqslant x, x^{2} \leqslant y\right\}$，计算二重积分$\iint_{D} (x - y + 1)^{2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

利用对称性简化二重积分计算利用直角坐标计算二重积分二重积分的概念与性质

#20解答题来源：301-2021

设 $D\subset\mathbb{R}^2$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\iint_D(4-x^2-y^2)dxdy$ 取得最大值的积分区域为 $D_1$。(I) 求 $I(D_1)$ 的值；(II) 计算 $\int_{\partial D_1}\frac{(xe^{x^2+4y^2}+y)dx+(4ye^{x^2+4y^2}-x)dy}{x^2+4y^2}$，其中 $\partial D_1$ 是 $D_1$ 的正向边界。

二重积分的概念与性质对坐标的曲线积分格林公式及其应用

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