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已知函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{\cos t} dt$, $g(x) = \int_{0}^{\sin x} e^{t^2} dt$, 则()

$\int_{-\infty}^{+\infty} \left|x\right| 3^{-x^{2}}\,dx=\underline{\qquad}$.

$\int_{\sqrt{5}}^{5}\dfrac{x}{\sqrt{|x^2 -9|}}\mathrm{d}x=$ $ \underline{\qquad}$.

$\int_{0}^{1}{\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}\,\mathrm{d}x}=\underline{\qquad}$.

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}\left[\ln\frac{1}{n}+2\ln\frac{2}{n}+\cdots+(n-1)\ln\frac{n-1}{n}\right]=\underline{\qquad}$。

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x + 2) - f(x) = x$, $\int_0^2 f(x)dx = 0$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\qquad}$。

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3\theta\,(0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3})$，则 $L$ 围成的有界区域的面积为 $\underline{\qquad}$.

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)-f(x)=x,\int_{0}^{2}{f(x)\,dx}=0$，则 $\int_{1}^{3}{f(x)\,dx}=\underline{\qquad}$.

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x^2 - 2x + 2)} dx$。

计算$\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)(x^{2}-2x+2)}\,dx$.

设$y(x)$为微分方程$x^{2}y''+xy'-9y=0$满足条件$y\left|_{x=1}\right.=2,\,y'\left|_{x=1}\right.=6$的解。 (I) 利用变换$x=e^{t}$将上述方程化为常系数线性微分方程，并求$y(x)$； (II) 计算$\int_{1}^{2}y(x)\sqrt{4-x^{2}}\,dx$。

已知平面区域 $D = \left\{(x,y) \left| 0 \leqslant y \leqslant \dfrac{1}{x \sqrt{1 + x^2}},x \geqslant 1\right.\right\}$. ( I ) 求 $D$ 的面积; (Ⅱ) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.

已知函数 $g(x)$ 连续，$f(x) = \int_0^{x^2} g(xt) dt$，求 $f'(x)$ 的表达式，并判断 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。

已知平面区域$D = \{(x,y) \mid y - 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 - y^2}, 0 \leqslant y \leqslant 2\}$,计算$I = \iint\limits_D \dfrac{(x - y)^2}{x^2 + y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$.

设$t>0$，平面有界区域$D$由曲线$y = x\mathrm{e}^{-2x}$与直线$x = t$，$x = 2t$及$x$轴围成，$D$的面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

曲线$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$（x$\geq$0，y$\geq$0）与$x$轴围成的区域为$D$，求$\iint\limits_D xydxdy$。