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若函数 $f(a)=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{a+1}}$ 在 $a=a_0$ 处取得最小值,则 $a_0=( )$

设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 给定以下三个命题: (1) 若 $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛; (2) 若存在 $p>1$, 使极限 $\lim_{x\to +\infty} x^{p}f(x)$ 存在, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛; (3) 若 $\int_{0}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛, 则存在 $p>1$, 使极限 $\lim_{x\to +\infty} x^{p}f(x)$ 存在; 其中正确的个数是( )

计算反常积分 $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+2x+2}dx=$ $\underline{\qquad}$。

$\int_{-\infty}^{+\infty} \left|x\right| 3^{-x^{2}}\,dx=\underline{\qquad}$.

设$\int_{1}^{+\infty}{\frac{a}{x(2x+a)}}\mathrm{d}x=\ln 2$，则$a=\underline{\qquad}$。

设$p$为常数，若反常积分$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan x}{x^{p}(x+1)}dx$收敛，则$p$的取值范围是$\underline{\qquad}$

设$\int_{1}^{+\infty}\dfrac{a}{x(2x+a)}dx=\ln2$，则$a=\underline{\qquad}$.

$\int_{2}^{+\infty} \dfrac{5}{x^4+3x^2-4} \mathrm{d}x =$ $\underline{\qquad}$

设$p$为常数，若反常积分$\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^p(x+1)}dx$收敛，则$p$的取值范围是$\underline{\qquad}$

设 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x+1)}{x^2} dx = \underline{\qquad}.$

已知平面区域 $D = \left\{(x,y) \left| 0 \leqslant y \leqslant \dfrac{1}{x \sqrt{1 + x^2}},x \geqslant 1\right.\right\}$. ( I ) 求 $D$ 的面积; (Ⅱ) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.

已知平面区域 $D=\left\{(x,y)\mid 0\leq y\leq \frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}},\ x\geq 1\right\}$。 (I) 求 $D$ 的面积； (II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。

已知 $M(x_0,y_0)$ 是曲线 $y = \dfrac{1}{1+x^2}\left(x\geq0\right)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点，记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y = \dfrac{1}{1+x^2}\left(x\geq x_0\right)$，线段 $OM$ 及 $x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。