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曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x}{\sqrt{3-t^{3}}\,dt}$ 的弧长为 $\underline{\qquad}$.

设平面区域$D$由曲线 $y = \sqrt{x}\sin\pi x(0\leqslant x\leqslant1)$ 与$x$轴围成，则$D$绕$x$轴旋转所成的旋转体的体积为 $ \underline{\qquad}$.

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3\theta\,(0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3})$，则 $L$ 围成的有界区域的面积为 $\underline{\qquad}$.

设函数$y(x)$是微分方程$2xy'-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解,求曲线$y=y(x)$（$1\leq x\leq e$）的弧长.

已知平面区域 $D = \left\{(x,y) \left| 0 \leqslant y \leqslant \dfrac{1}{x \sqrt{1 + x^2}},x \geqslant 1\right.\right\}$. ( I ) 求 $D$ 的面积; (Ⅱ) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.

设函数$ f(x) $满足$ \int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{6}x^2-x+C $，$L$为曲线$ y=f(x) $(4$\leq x\leq$9)，$L$的弧长为$s$，$L$绕$x$轴旋转一周所形成的曲面面积为$A$，求$s$和$A$。

已知平面区域 $D=\left\{(x,y)\mid 0\leq y\leq \frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}},\ x\geq 1\right\}$。 (I) 求 $D$ 的面积； (II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。

设$t>0$，平面有界区域$D$由曲线$y=\sqrt{x}e^{-x}$与直线$x=t$、$x=2t$及$x$轴围成，$D$绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。

已知 $M(x_0,y_0)$ 是曲线 $y = \dfrac{1}{1+x^2}\left(x\geq0\right)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点，记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y = \dfrac{1}{1+x^2}\left(x\geq x_0\right)$，线段 $OM$ 及 $x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。