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设函数 $z = z(x,y)$ 由方程 $x - az = e^{y+az}$ (a是非0常数)确定,则 ( )

设函数 $z=z(x,y)$ 由 $z+\ln z-\int_{y}^{x} e^{-t^{2}}\,dt=0$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=(\ )$

已知函数$f(x,y)=\ln(y+|x\sin y|)$，则()

设$f(u)$可导,$z=xyf(\frac{y}{x})$,若$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = xy(\ln y - \ln x)$,则( ).

已知 $P = P(x,y,z)$, $Q = Q(x,y,z)$ 均连续, $\sum$ 为 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$, $x \leq 0$, $y \geq 0$ 的上侧, 则 $\iint_{\sum} Pdydz + Qdxdz =$

设函数 $z = z(x,y)$ 由方程 $x - az = e^{y+az}$（$a$ 是非零常数）确定，则 ( )

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2cm/s,-3cm/s$, 当底面半径为 $10cm$, 高为 $5cm$ 时, 圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( ).

已知$f(t)$连续，令$F(x,y)=\int_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\,dt$，则( )

设函数 $z = z(x,y)$ 由方程 $x - az = e^{y+ax}$（$a$ 是非零常数）确定，则 ( )

已知 $f(t)$ 连续, 令 $F(x,y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t)f(t)\,dt$, 则( )

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,e^x)=x(x+1)^2,f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$df(1,1)=$（ ）。

已知函数 $f(x,y)=\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy},&xy\ne 0\\0,&xy=0\end{cases}$，则在点 $(0,0)$ 处( )

函数 $f(x,y)=x^2+2y^2$ 在点 $(0,1)$ 处的最大方向导数为 $\underline{\qquad}$。

曲面 $z = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为$\underline{\qquad}$。

设函数 $f(u,v)$ 具有2阶连续偏导数, 且 $df|_{(1,1)} = 3du + 4dv$, 令 $y = f(\cos x,1+x^2)$, 则 $\frac{d^2 y}{dx^2}\bigg|_{x=0} =\underline{\qquad}$

函数 $f(x,y)=2x^{3}-9x^{2}-6y^{4}+12x+24y$ 的极值点是 $\underline{\qquad}$.

已知函数$f(x,y)$满足$df(x,y) = \dfrac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}, f(1,1) = \dfrac{\pi}{4}$,则$f(\sqrt{3},3) = \underline{\qquad}$

已知函数 $u(x,y,z) = xy^2z^3$, 向量 $\boldsymbol{n} = (2,2,-1)$, 则 $\left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(1,1,1)} =$

设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $(x+1)z+y\ln z-\arctan 2xy=1$ 确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=\underline{\qquad}$.

设函数 $z=z(x,y)$ 由 $e^{z}+xz=2x-y$ 确定，则 $\left.\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=\underline{\qquad}$.

当 $x\geq 0,y\geq 0$ 时，$x^2+y^2\leq ke^{x+y}$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$。

$z = 2x^3 - 9x^2 - 6y^4 + 12x + 24y$的极值点是$\underline{\qquad}$.

已知函数$z=z(x,y)$由$z+\ln z-\int_{y}^{x}x e^{-t^2}dt=1$确定，则$\left.\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(1,1)}=\underline{\qquad}$.

已知函数$f(x,y)$可微，且$df(0,0)=\pi dx + 3dy$，记$g(x)=f(\ln x,\sin\pi x)$，则$g'(1) = \underline{\qquad}$

求 $f(x,y) = (2x^2 - y^2)e^x$ 的极值。

求函数 $f(x,y) = (y - x^2)(y - x^3)$ 的极值。

已知函数 $f(x,y) = x^3 + y^3 - (x + y)^2 + 3$, 设 $T$ 是曲面 $z = f(x,y)$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面, $D$ 为 $T$ 与坐标平面所围成的有界区域在 $xOy$ 平面上的投影。(1) 求 $T$ 的方程；(2) 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值

设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有3阶连续导数, 且存在可微函数 $F(x,y)$ 使$$dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy \quad (xy>0).$$(1) 证明: $\frac{f''(u)}{u} - \frac{f'(u)}{u} = c$, $c$为常数;(2) 设 $f(1)=1$, $f'(1)=-1$, $f''(1)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式。

求函数$f(x,y)=xe^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$的极值.

求函数$f(x,y) = 2\ln |x| + \dfrac{(x - 1)^2 + y^2}{2x^2}$的极值.