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设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\dfrac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\dfrac{1+\theta}{4}$，利用来自总体的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$ 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为（ ）。

假设某种元件寿命服从指数分布, 其均值$\theta$是未知参数。为估计$\theta$, 取$n$个这种元件同时做寿命实验, 试验直到出现$k$ ($1 \leq k \leq n$)个元件失效时停止。(1) 若$k=1$, 失效元件寿命记为$T$,(i) 求$T$的概率密度;(ii) 确定$a$, 使 $\hat{\theta}=aT$是$\theta$的无偏估计, 并求$D(\hat{\theta})$;(2) 已知$k$个失效元件寿命值分别为$t_1,t_2,\cdots,t_k$, 且$t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$, 似然函数为$$L(\theta) = \frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^k t_i + (n-k)t_k\right]},$$求$\theta$的最大似然估计值。

设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta(\theta>0)$是未知参数，利用样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$，求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$，并求$D(\hat{\theta})$。

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本,$Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中$\theta(\theta > 0)$是未知参数. 利用样本$X_1,X_2,\cdots,X_n,Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$,求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$,并求$D(\hat{\theta})$.

假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数。为估计 $\theta$，取 $n$ 个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 $k$（$1 \leq k \leq n$）个元件失效时停止。 (1) 若 $k=1$，失效元件寿命记为 $T$， (i) 求 $T$ 的概率密度； (ii) 确定 $a$，使 $\hat{\theta} = aT$ 是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$； (2) 已知 $k$ 个失效元件寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$，似然函数为 $$L(\theta) = \dfrac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum\limits_{i=1}^k t_i + (n-k)t_k\right]},$$ 求 $\theta$ 的最大似然估计值。