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设 $X_1,X_2$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma > 0)$ 是未知参数，若 $\hat{\sigma} = a|X_1 - X_2|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a =$（）

设$X_1，X_2$为来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的简单随机样本，其中$\sigma(\sigma>0)$是未知参数.记$\hat{\sigma}=a|X_1-X_2|$, 若$E(\hat{\sigma})=\sigma$, 则$a=$

设总体 $X$ 服从 $[0,\theta]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta \in (0,+\infty)$ 为未知参数, $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$, $T_c = cX_{(n)}$。(1) 求 $c$, 使得 $T_c$ 是 $\theta$ 的无偏估计；(2) 记 $h(c) = E(T_c - \theta)^2$, 求 $c$ 使得 $h(c)$ 最小。

假设某种元件寿命服从指数分布, 其均值$\theta$是未知参数。为估计$\theta$, 取$n$个这种元件同时做寿命实验, 试验直到出现$k$ ($1 \leq k \leq n$)个元件失效时停止。(1) 若$k=1$, 失效元件寿命记为$T$,(i) 求$T$的概率密度;(ii) 确定$a$, 使 $\hat{\theta}=aT$是$\theta$的无偏估计, 并求$D(\hat{\theta})$;(2) 已知$k$个失效元件寿命值分别为$t_1,t_2,\cdots,t_k$, 且$t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$, 似然函数为$$L(\theta) = \frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^k t_i + (n-k)t_k\right]},$$求$\theta$的最大似然估计值。

假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数。为估计 $\theta$，取 $n$ 个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 $k$（$1 \leq k \leq n$）个元件失效时停止。 (1) 若 $k=1$，失效元件寿命记为 $T$， (i) 求 $T$ 的概率密度； (ii) 确定 $a$，使 $\hat{\theta} = aT$ 是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$； (2) 已知 $k$ 个失效元件寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$，似然函数为 $$L(\theta) = \dfrac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum\limits_{i=1}^k t_i + (n-k)t_k\right]},$$ 求 $\theta$ 的最大似然估计值。