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设随机变量 $X$, $Y$ 相互独立, 且 $X$ 服从正态分布 $N(0,2)$, $Y$ 服从正态分布 $N(-2,2)$, 若 $P\{2X + Y < a\} = P\{X > Y\}$, 则 $a = ()$

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(0,0;1,1;\rho)$, 其中 $\rho \in (-1,1)$。若 $a,b$ 为满足 $a^2 + b^2 = 1$ 的任意实数, 则 $D(aX + bY)$ 的最大值为

设随机变量 $X \sim N(1,2)$, 令 $f(t) = E[(X + t)^2]$, 则 $f(t)$ 的最小值点和最小值分别为 ( )

设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,3)$ 上的均匀分布，随机变量 $Y$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布，且 $X$ 与 $Y$ 的协方差为 $-1$，则 $D(2X-Y+1)=()$

设随机变量 $X\sim N(0,4)$，随机变量 $Y\sim B\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$，且 $X,Y$ 不相关，则 $D(X-3Y+1)=$

设随机变量$X$服从正态分布$N(-1,1)$，$Y$服从正态分布$N(1,2)$，若$X$与$X+2Y$不相关，则$X$与$X-Y$的相关系数为

设 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)$ 为来自总体 $N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ 的简单随机样本，令 $\theta=\mu_1-\mu_2$，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$，$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nY_i$，$\hat{\theta}=\overline{X}-\overline{Y}$，则（）

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F(ay + b)$, $X$ 的数学期望为 $\mu$, 方差为 $\sigma^2(\sigma>0)$, 若$Y$的数学期望和方差分别为0和1,则 ( )

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的 $4$ 阶矩存在，$E(X_1^k)=\mu_k(k=1,2,3,4)$，则根据切比雪夫不等式，对任意 $\varepsilon>0$，都有 $P\left\{\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\mu_2\right|\geq \varepsilon\right\}\leq ()$

设 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)$ 为来自总体 $N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ 的简单随机样本，令 $\theta=\mu_1-\mu_2$，$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i,\overline{Y}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i,\hat{\theta}=\overline{X}-\overline{Y}$，则（ ）。

设随机变量$X,Y$相互独立,且$X\sim N(0,2),Y\sim N(-1,1)$,记$p_1=P\{2X-Y>0\},p_2=P\{X-2Y>1\}$,则

设随机变量$X \sim N(0,1)$，随机变量$Y \sim B\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$，且$X$与$Y$独立，则$XY$与$X+Y$的相关系数为（ ）

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$, $X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 样本的经验分布函数为 $F_n(x)$, 对于给定的 $x(0<F(x)<1)$, $D[F_n(x)]=$( )

设随机变量 $X$ 服从参数为1的泊松分布, 随机变量 $Y$ 服从参数为3的泊松分布, $X$与$Y-X$相互独立, 则 $E(XY) = \underline{\qquad}.$

设随机变量$X$与$Y$相互独立,且$X \sim B(1,p), Y \sim B(2,p), p \in (0,1)$,则$X+Y$与$X-Y$的相关系数为$\underline{\qquad}$

设总体 $X$ 服从 $[0,\theta]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta \in (0,+\infty)$ 为未知参数, $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$, $T_c = cX_{(n)}$。(1) 求 $c$, 使得 $T_c$ 是 $\theta$ 的无偏估计；(2) 记 $h(c) = E(T_c - \theta)^2$, 求 $c$ 使得 $h(c)$ 最小。

设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta(\theta>0)$是未知参数，利用样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$，求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$，并求$D(\hat{\theta})$。

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本,$Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中$\theta(\theta > 0)$是未知参数. 利用样本$X_1,X_2,\cdots,X_n,Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$,求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$,并求$D(\hat{\theta})$.