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设随机变量 $X$ 服从参数为1的泊松分布，则 $E(|X - EX|) =$（）

设随机变量 $X$, $Y$ 相互独立, 且 $X$ 服从正态分布 $N(0,2)$, $Y$ 服从正态分布 $N(-2,2)$, 若 $P\{2X + Y < a\} = P\{X > Y\}$, 则 $a = ()$

设随机变量 $X \sim N(1,2)$, 令 $f(t) = E[(X + t)^2]$, 则 $f(t)$ 的最小值点和最小值分别为 ( )

设随机变量$X$服从参数为1的泊松分布，则$E(|X-EX|)=$

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}6x(1-x), & 0<x<1 \\0, & \text{其他}.\end{cases}$，则$X$的三阶中心矩$E(X-EX)^3=$

设 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)$ 为来自总体 $N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ 的简单随机样本，令 $\theta=\mu_1-\mu_2$，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$，$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nY_i$，$\hat{\theta}=\overline{X}-\overline{Y}$，则（）

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases}2(1-x), & 0 < x < 1 \\0, & 其它\end{cases}$ 在 $X = x \ (0 < x < 1)$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 服从区间 $(x,1)$ 上的均匀分布, 则 $\text{Cov}(X,Y) =$ ()

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F(ay + b)$, $X$ 的数学期望为 $\mu$, 方差为 $\sigma^2(\sigma>0)$, 若$Y$的数学期望和方差分别为0和1,则 ( )

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的 $4$ 阶矩存在，$E(X_1^k)=\mu_k(k=1,2,3,4)$，则根据切比雪夫不等式，对任意 $\varepsilon>0$，都有 $P\left\{\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\mu_2\right|\geq \varepsilon\right\}\leq ()$

设 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)$ 为来自总体 $N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ 的简单随机样本，令 $\theta=\mu_1-\mu_2$，$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i,\overline{Y}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i,\hat{\theta}=\overline{X}-\overline{Y}$，则（ ）。

设随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布,且 $X_1$ 的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}1-|x|, & |x|<1, \\0, & 其他\end{cases}$ 则当 $n\to\infty$ 时, $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2$ 依概率收敛于

设随机变量$X,Y$相互独立,且$X\sim N(0,2),Y\sim N(-1,1)$,记$p_1=P\{2X-Y>0\},p_2=P\{X-2Y>1\}$,则

设随机变量$X \sim N(0,1)$，随机变量$Y \sim B\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$，且$X$与$Y$独立，则$XY$与$X+Y$的相关系数为（ ）

设 $X_1,X_2$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma > 0)$ 是未知参数，若 $\hat{\sigma} = a|X_1 - X_2|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a =$（）

设随机变量 $X\sim N(0,1)$，若在 $X=x$ 的条件下，随机变量 $Y\sim N(x,1)$，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为()

设$X_1，X_2$为来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的简单随机样本，其中$\sigma(\sigma>0)$是未知参数.记$\hat{\sigma}=a|X_1-X_2|$, 若$E(\hat{\sigma})=\sigma$, 则$a=$

甲，乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令$X,Y$分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则$X$与$Y$的相关系数为$\underline{\qquad}$。

设随机变量 $X$ 服从参数为1的泊松分布, 随机变量 $Y$ 服从参数为3的泊松分布, $X$与$Y-X$相互独立, 则 $E(XY) = \underline{\qquad}.$

甲,乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入盒中,再从乙盒中任取一个球,令$X,Y$分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数,则$X$与$Y$的相关系数为 $\underline{\qquad}$.

设随机变量$X$服从参数为1的泊松分布，随机变量$Y$服从参数为3的泊松分布，$X$与$Y-X$相互独立，则$E(XY) = \underline{\qquad}$

在区间 $(0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 $X$，较长一段的长度为 $Y$，令 $Z=\frac{Y}{X}$。(I)求 $X$ 的概率密度；(II)求 $Z$ 的概率密度；(III)求 $E\left(\frac{X}{Y}\right)$。

设总体 $X$ 服从 $[0,\theta]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta \in (0,+\infty)$ 为未知参数, $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$, $T_c = cX_{(n)}$。(1) 求 $c$, 使得 $T_c$ 是 $\theta$ 的无偏估计；(2) 记 $h(c) = E(T_c - \theta)^2$, 求 $c$ 使得 $h(c)$ 最小。

投保人的损失事件发生时, 保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为 $Y = \begin{cases} 0, & X \leq 100, \\ X - 100, & X > 100. \end{cases}$ 设定损事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} \frac{2 \times 100^2}{(100 + x)^3}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0. \end{cases}$ (1) 求 $P\{Y > 0\}$ 及 $EY$。(2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$, 假设 $N$ 服从参数为8的泊松分布, 在 $N = n$（$n \geq 1$）的条件下, $M$ 服从二项分布 $B(n,p)$, 其中 $p = P\{Y > 0\}$, 求 $M$ 的概率分布。

在区间$(0,2)$上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为$X$,较长一段的长度记为$Y$,令$Z = \dfrac{Y}{X}$. ( I ) 求$X$的概率密度; (Ⅱ) 求$Z$的概率密度; (Ⅲ) 求$E\left(\dfrac{X}{Y}\right)$.

设随机变量$X$的概率密度为$f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2}$，$-\infty < x < +\infty$，令$Y = \mathrm{e}^X$。 （Ⅰ）求$X$的分布函数； （Ⅱ）求$Y$的概率密度； （Ⅲ）$Y$的数学期望是否存在？

设总体$X$服从$[0,\theta]$上的均匀分布,其中$\theta\in(0,+\infty)$为未知参数,$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本. 记$X_{(n)}=\max\left\{X_1,X_2,\cdots,X_n\right\}$,$T_c = cX_{(n)}$. (Ⅰ) 求$c$,使得$E(T_c)=\theta$; (Ⅱ) 记$h(c)=E\left[(T_c-\theta)^2\right]$,求$c$使得$h(c)$最小.

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额$Y$与投保人的损失额$X$的关系为$Y = \begin{cases} 0, & X \leqslant 100, \\ X - 100, & X > 100. \end{cases}$设损失事件发生时，投保人的损失额$X$的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{2 \times 100^{2}}{(100 + x)^{3}}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$ （Ⅰ）求$P\{Y > 0\}$及$E(Y)$； （Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为$N$，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为$M$. 假设$N$服从参数为8的泊松分布，在$N = n(n \geqslant 1)$的条件下，$M$服从二项分布$B(n,p)$，其中$p = P\{Y > 0\}$，求$M$的概率分布.