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已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln(2 + x)$, 则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n} =$ ()

设幂级数$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$的和函数为$\ln(2+x)$，则$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}na_{2n}=$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = \underline{\qquad}$

设 $u_n(x)=e^{-nx}+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}(n=1,2,\cdots)$，求级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的收敛域及和函数。

设$n$为正整数,$y = y_n(x)$是微分方程$xy' - (n + 1)y = 0$满足条件$y_n(1) = \dfrac{1}{n(n + 1)}$的解. ( I ) 求$y_n(x)$; (Ⅱ) 求级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n(x)$的收敛域及和函数.

求幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-4)^n + 1}{4^n(2n + 1)}x^{2n}$的收敛域及和函数$S(x)$.