#8选择题来源：303-2026
设随机变量$x$和$y$独立同分布，$x$概率密度为$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{(1+x)^{2}},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases},$$则$P\{XY \leq 1\}=$（ ）
- A. $\dfrac{3}{4}$
- B. $\dfrac{1}{2}$
- C. $\dfrac{1}{3}$
- D. $\dfrac{1}{6}$
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#9选择题来源：301-2023
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$ 为来自总体 $N(\mu,2\sigma^2)$ 的简单随机样本，且两样本之间相互独立。记 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, $\overline{Y} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i$, $S_1^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$, $S_2^2 = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m (Y_i - \overline{Y})^2$。则（）
- A. $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n,m)$
- B. $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1,m-1)$
- C. $\frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n,m)$
- D. $\frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1,m-1)$
#10选择题来源：303-2024
设随机变量$X,Y$相互独立,且均服从参数为$\lambda$的指数分布,令$Z=|X-Y|$,则下列随机变量与$Z$同分布的是
- A. $X+Y$.
- B. $\dfrac{X+Y}{2}$.
- C. $2X$.
- D. $X$.
#22解答题来源：301-2023
设二维随机变量 $(x,y)$ 的概率密度为 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{2}{\pi}(x^2 + y^2), & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & 其他 \end{cases}$
(1) 求 $X$ 与 $Y$ 的协方差；
(2) 求 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立；
(3) 求 $Z = X^2 + Y^2$ 的概率密度。