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二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（）

二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$ 的正惯性指数

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_1+x_3)^2-4(x_2-x_3)^2$ 的规范形为

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。若方程 $f(x_1,x_2,x_3) = -1$ 表示的曲面为圆柱面,则 ( )

设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&-a\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&0\\1&a\end{pmatrix}$, 若$f(x,y)=|xA+yB|$是正定二次型,则$a$的取值范围是

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为( ).

设矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{pmatrix}$ 有一个正特征值和两个负特征值，则 $(\ )$

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^{2}+(x_1+x_3)^{2}-4(x_2-x_3)^{2}$ 的规范形为( )

设实矩阵 $A = \begin{pmatrix}a+1 & a \\a & a\end{pmatrix}$, 若对任意实向量 $\alpha = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$, $(\alpha^T A \beta)^2 \leq \alpha^T A \alpha \cdot \beta^T A \beta$ 都成立, 则 $a$ 的取值范围是$\underline{\qquad}$

设矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3a\end{pmatrix}$，若二次型$x^T(AA^T)x$的规范形为$y_1^2$，则$a+b=\underline{\qquad}$

设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3a \end{pmatrix}$，若二次型$x^{T}(AA^{T})x$的规范形为$y_{1}^{2}$，则$a+b = \underline{\qquad}$

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3$，$g(y_1,y_2,y_3) = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + 2y_2y_3$ (1) 求可逆变换 $x = Py$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$ (2) 是否存在正交变换 $x = Qy$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-2\\1&1&1\\-2&1&a\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}k&0&0\\0&6&0\\0&0&0\end{array}\right)$合同. (I) 求$a$的值及$k$的取值范围； (II) 若存在正交矩阵$Q$，使得$Q^{T}AQ=B$，求$k$及$Q$.