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下列 4 个条件中，3 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的一个充分非必要条件是( )

二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$ 的正惯性指数

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。

设$A$为$3$阶矩阵，$\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为$1$，$-1$，$0$的充分必要条件是( )

已知$f(x_1,x_2,x_3)=X^TAX$经正交变换化为$y_1^2-2y_2^2+3y_3^2$，则二次型对应的矩阵$A$的行列式和迹分别为

下列矩阵不能相似于对角矩阵的是（）

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_1+x_3)^2-4(x_2-x_3)^2$ 的规范形为

设$A$为3阶矩阵，则“$A^3 - A^2$可对角化”是“$A$可对角化”的

设 $A$ 是秩为2的3阶矩阵, $\alpha$ 是满足 $A\alpha = 0$ 的非零向量, 若对满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的3维列向量 $\beta$, 均有 $A\beta = \beta$, 则()

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。若方程 $f(x_1,x_2,x_3) = -1$ 表示的曲面为圆柱面,则 ( )

设3阶矩阵$A$，$B$，满足$AB+BA=A^{2}+B^{2}$，则$A \neq B$。下列结论错误的是（ ）

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为( ).

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵, $\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, 则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是( )

设矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{pmatrix}$ 有一个正特征值和两个负特征值，则 $(\ )$

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^{2}+(x_1+x_3)^{2}-4(x_2-x_3)^{2}$ 的规范形为( )

设 $A,B$ 均为 $2$ 阶矩阵, 且 $AB=BA$, 则“$A$ 有两个不相等的特征值”是“$B$ 可对角化”的( )

设 3 阶矩阵 $A$，$B$，满足 $AB + BA = A^2 + B^2$，且 $A \neq B$。下列结论错误的是 ( )

设 $A=a_{(ij)}$ 为3阶矩阵，$A_{ij}$ 为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且 $|A|=3$，则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=$ $\underline{\qquad}$。

设实矩阵 $A = \begin{pmatrix}a+1 & a \\a & a\end{pmatrix}$, 若对任意实向量 $\alpha = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$, $(\alpha^T A \beta)^2 \leq \alpha^T A \alpha \cdot \beta^T A \beta$ 都成立, 则 $a$ 的取值范围是$\underline{\qquad}$

设矩阵$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&a&2\\0&2&a\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}a&-1&-1\\-1&2&1\\-1&-1&a\end{pmatrix},$$记$m(X)$为3阶矩阵$X$的实特征值中的最大值。若$m(A) < m(B)$, 则$a$的取值范围为$\underline{\qquad}.$

$A$为$3$阶矩阵,$A^*$为其伴随矩阵,$E$为单位矩阵,且$r(2E-A)=1,r(E+A)=2$,则$|A^*|=\underline{\qquad}$.

设矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3a\end{pmatrix}$，若二次型$x^T(AA^T)x$的规范形为$y_1^2$，则$a+b=\underline{\qquad}$

设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3a \end{pmatrix}$，若二次型$x^{T}(AA^{T})x$的规范形为$y_{1}^{2}$，则$a+b = \underline{\qquad}$

已知 $A=\begin{pmatrix}a&1&-1\\1&a&-1\\-1&-1&a\end{pmatrix}$。(I)求正交矩阵 $P$，使得 $P^TAP$ 为对角矩阵；(II)求正定矩阵 $C$，使得 $C^2=(a+3)E-A$。

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3$，$g(y_1,y_2,y_3) = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + 2y_2y_3$ (1) 求可逆变换 $x = Py$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$ (2) 是否存在正交变换 $x = Qy$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$

已知数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$, $\{z_n\}$ 满足 $x_0 = -1$, $y_0 = 0$, $z_0 = 2$, 且 $\begin{cases}x_n = -2x_{n-1} + 2z_{n-1}\\y_n = -2y_{n-1} - 2z_{n-1}\\z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1}\end{cases}$ 记 $\alpha_n = \begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}$, 写出满足 $\alpha_n = A\alpha_{n-1}$ 的矩阵 $A$, 并求 $A^n$ 及 $x_n$, $y_n$, $z_n$。

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$, 已知1是 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的重根。(1) 求 $a$ 的值;(2) 求所有满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} + 2\boldsymbol{\beta}$ 的非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$。

已知二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}ijx_{i}x_{j}$ (I)写出$f(x_{1},x_{2},x_{3})$对应的矩阵； (II)求正交变换$x=Qy$将$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形； (III)求$f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$的解。

设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{pmatrix}$仅有两个不同的特征值,若$\boldsymbol{A}$相似于对角矩阵,求$a,b$的值,并求可逆矩阵$\boldsymbol{P}$,使$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$为对角矩阵.

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2 + 4x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_3$. ( I ) 求正交变换$x = Qy$将$f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形; ( II ) 证明: $\min\limits_{x \neq 0} \dfrac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x} = 2$.