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二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（）

已知$f(x_1,x_2,x_3)=X^TAX$经正交变换化为$y_1^2-2y_2^2+3y_3^2$，则二次型对应的矩阵$A$的行列式和迹分别为

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。若方程 $f(x_1,x_2,x_3) = -1$ 表示的曲面为圆柱面,则 ( )

已知 $A=\begin{pmatrix}a&1&-1\\1&a&-1\\-1&-1&a\end{pmatrix}$。(I)求正交矩阵 $P$，使得 $P^TAP$ 为对角矩阵；(II)求正定矩阵 $C$，使得 $C^2=(a+3)E-A$。

已知二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}ijx_{i}x_{j}$ (I)写出$f(x_{1},x_{2},x_{3})$对应的矩阵； (II)求正交变换$x=Qy$将$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形； (III)求$f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$的解。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2 + 4x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_3$. ( I ) 求正交变换$x = Qy$将$f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形; ( II ) 证明: $\min\limits_{x \neq 0} \dfrac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x} = 2$.

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1x_3$。 (I) 求正交变换$x=Qy$将$f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形； (II) 证明:$\min_{x\neq 0}\frac{f(x)}{x^Tx}=2$.

设矩阵$A=\begin{pmatrix}0&1&a\\1&0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\ b&2\end{pmatrix}$，二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x^{T}BAx$。已知方程组$Ax=0$的解均是$B^{T}x=0$的解，但这两个方程组不同解。 (I) 求$a,b$的值； (II) 求正交变换$x=Qy$将$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-2\\1&1&1\\-2&1&a\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}k&0&0\\0&6&0\\0&0&0\end{array}\right)$合同. (I) 求$a$的值及$k$的取值范围； (II) 若存在正交矩阵$Q$，使得$Q^{T}AQ=B$，求$k$及$Q$.