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下列 4 个条件中，3 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的一个充分非必要条件是( )

设$A$为$3$阶矩阵，$\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为$1$，$-1$，$0$的充分必要条件是( )

已知$f(x_1,x_2,x_3)=X^TAX$经正交变换化为$y_1^2-2y_2^2+3y_3^2$，则二次型对应的矩阵$A$的行列式和迹分别为

下列矩阵不能相似于对角矩阵的是（）

设$A$为3阶矩阵，则“$A^3 - A^2$可对角化”是“$A$可对角化”的

设 $A$ 是秩为2的3阶矩阵, $\alpha$ 是满足 $A\alpha = 0$ 的非零向量, 若对满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的3维列向量 $\beta$, 均有 $A\beta = \beta$, 则()

设3阶矩阵$A$，$B$，满足$AB+BA=A^{2}+B^{2}$，则$A \neq B$。下列结论错误的是（ ）

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵, $\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, 则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是( )

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3$，$g(y_1,y_2,y_3) = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + 2y_2y_3$ (1) 求可逆变换 $x = Py$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$ (2) 是否存在正交变换 $x = Qy$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$

已知数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$, $\{z_n\}$ 满足 $x_0 = -1$, $y_0 = 0$, $z_0 = 2$, 且 $\begin{cases}x_n = -2x_{n-1} + 2z_{n-1}\\y_n = -2y_{n-1} - 2z_{n-1}\\z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1}\end{cases}$ 记 $\alpha_n = \begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}$, 写出满足 $\alpha_n = A\alpha_{n-1}$ 的矩阵 $A$, 并求 $A^n$ 及 $x_n$, $y_n$, $z_n$。

设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{pmatrix}$仅有两个不同的特征值,若$\boldsymbol{A}$相似于对角矩阵,求$a,b$的值,并求可逆矩阵$\boldsymbol{P}$,使$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$为对角矩阵.

设矩阵$A$满足：对任意$x_1,x_2,x_3$均有$A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\2x_1-x_2+x_3\\x_2-x_3\end{pmatrix}$。 （Ⅰ）求$A$； （Ⅱ）求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP = \Lambda$。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-2\\1&1&1\\-2&1&a\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}k&0&0\\0&6&0\\0&0&0\end{array}\right)$合同. (I) 求$a$的值及$k$的取值范围； (II) 若存在正交矩阵$Q$，使得$Q^{T}AQ=B$，求$k$及$Q$.

设矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b\end{pmatrix}$仅有两个不同的特征值，若$A$相似于对角矩阵，求$a,b$的值，并求可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP$为对角矩阵。