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设向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\b\\a\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则()

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是 $n$ 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}$。在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中, 关于 $x,y,z$ 的方程组 $x\boldsymbol{\alpha}_1 + y\boldsymbol{\alpha}_2 + z\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_4$ 的几何图形是

设$A=(a_1,a_2,a_3,a_4)^T$为4阶正交矩阵，$B=\begin{pmatrix}a_1^T\\a_2^T\\a_3^T\end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，$k$表示任意常数，则线性方程组$BX=\beta$的通解$X$=（ ）。

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$，若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价,则 $\lambda$ 的取值范围是

已知向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. 若$\gamma$既可由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示, 也可由$\beta_1,\beta_2$线性表示, 则$\gamma=$

设3阶矩阵$A$，$B$，满足$AB+BA=A^{2}+B^{2}$，则$A \neq B$。下列结论错误的是（ ）

设 $\alpha_{1}=(\lambda,1,1)^{T},\alpha_{2}=(1,\lambda,1)^{T},\alpha_{3}=(1,1,\lambda)^{T},\alpha_{4}=(1,\lambda,\lambda^{2})^{T}$, 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 与 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}$ 等价, 则 $\lambda$ 的取值范围是( )

已知向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示,也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示,则 $\gamma=( )$

设 3 阶矩阵 $A$，$B$，满足 $AB + BA = A^2 + B^2$，且 $A \neq B$。下列结论错误的是 ( )

已知向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$, $\gamma = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$。若 $\gamma^T\alpha_i = \beta^T\alpha_i(i=1,2,3)$，则 $k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = \underline{\qquad}$。

设向量 $a_{1}=\left(\begin{array}{c}a\\1\\-1\\1\end{array}\right)$, $a_{2}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\b\\a\end{array}\right)$, $a_{3}=\left(\begin{array}{c}1\\a\\-1\\1\end{array}\right)$, 若 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则 $ab=\underline{\qquad}$.

设矩阵$A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})$，若$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，且$\alpha_{1}+\alpha_{2}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$，则方程组$Ax=\alpha_{1}+4\alpha_{4}$的通解为$x=\underline{\qquad}$。

已知向量组$$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}, \quad \alpha_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}, \quad \alpha_4=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix},$$记 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$, $G=(\alpha_1,\alpha_2)$。(1) 证明: $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组。(2) 求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$, 并求 $A^{10}$。

设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3 \end{pmatrix}$的秩为2. （Ⅰ）求$a$的值； （Ⅱ）求$A$的列向量组的一个极大线性无关组$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$，并求矩阵$H$，使得$A = GH$，其中$G = (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$.

已知向量组 $$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix},\quad \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix},\quad \alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix},\quad \alpha_4 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix},$$ 记 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，$G = (\alpha_1, \alpha_2)$。 (1) 证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组。 (2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。

已知向量组 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}$，$\alpha_3 = \begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_4 = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$， 记 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G = (\alpha_1,\alpha_2)$。 (1) 证明：$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组； (2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。