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#5选择题来源：301-2023
已知 $n$ 阶矩阵 $A$、$B$、$C$ 满足 $ABC = O$，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。记矩阵 $\begin{pmatrix} O & A \\ BC & E \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} AB & C \\ O & E \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} E & AB \\ AB & O \end{pmatrix}$ 的秩分别为 $r_1$、$r_2$、$r_3$，则
  • A. $r_1 \leq r_2 \leq r_3$
  • B. $r_1 \leq r_3 \leq r_2$
  • C. $r_3 \leq r_1 \leq r_2$
  • D. $r_2 \leq r_1 \leq r_3$
分块矩阵初等变换与初等矩阵
#5选择题来源：303-2023
设 $A,B$ 为$n$阶可逆矩阵,$E$为$n$阶单位矩阵,$M^*$为矩阵$M$的伴随矩阵,则$\begin{bmatrix}A&E\\O&B\end{bmatrix}^*=$( )
  • A. $\begin{bmatrix}|A|B^*&-B^*A^*\\O&|B|A^*\end{bmatrix}$
  • B. $\begin{bmatrix}|B|A^*&-A^*B^*\\O&|A|B^*\end{bmatrix}$
  • C. $\begin{bmatrix}|B|A^*&-B^*A^*\\O&|A|B^*\end{bmatrix}$
  • D. $\begin{bmatrix}|A|B^*&-A^*B^*\\O&|B|A^*\end{bmatrix}$
伴随矩阵分块矩阵可逆矩阵
#7选择题来源：301-2021
设 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，下列不成立的是（）
  • A. $r\begin{pmatrix}A&O\\O&A^TA\end{pmatrix}=2r(A)$
  • B. $r\begin{pmatrix}A&AB\\O&A^T\end{pmatrix}=2r(A)$
  • C. $r\begin{pmatrix}A&BA\\O&AA^T\end{pmatrix}=2r(A)$
  • D. $r\begin{pmatrix}A&O\\BA&A^T\end{pmatrix}=2r(A)$
分块矩阵初等变换与初等矩阵行列式的性质
#7选择题来源：301-2025
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) + r(\boldsymbol{C}) = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) + 2n$, 给出下列四个结论: ① $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) + n = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) + r(\boldsymbol{C})$; ② $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) + n = r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})$; ③ $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{C}) = n$; ④ $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) = n$。其中正确结论的序号是
  • A. ①②.
  • B. ①③.
  • C. ②④.
  • D. ③④.
分块矩阵行列式的性质初等变换与初等矩阵
#8选择题来源：302-2023
设 $A,B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵,$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵,$M^{*}$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵,则 $\begin{pmatrix}A&E\\O&B\end{pmatrix}^{*}=( )$
  • A. $\begin{pmatrix}|A|B^{*}&-B^{*}A^{*}\\O&|B|A^{*}\end{pmatrix}$
  • B. $\begin{pmatrix}|A|B^{*}&-A^{*}B^{*}\\O&|B|A^{*}\end{pmatrix}$
  • C. $\begin{pmatrix}|B|A^{*}&-B^{*}A^{*}\\O&|A|B^{*}\end{pmatrix}$
  • D. $\begin{pmatrix}|B|A^{*}&-A^{*}B^{*}\\O&|A|B^{*}\end{pmatrix}$
分块矩阵伴随矩阵可逆矩阵
#21解答题来源：301-2026
已知向量组$$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}, \quad \alpha_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}, \quad \alpha_4=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix},$$记 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$, $G=(\alpha_1,\alpha_2)$。(1) 证明: $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组。(2) 求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$, 并求 $A^{10}$。
线性无关分块矩阵
#21解答题来源：303-2026
已知向量组 $$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix},\quad \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix},\quad \alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix},\quad \alpha_4 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix},$$ 记 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，$G = (\alpha_1, \alpha_2)$。 (1) 证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组。 (2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。
线性无关分块矩阵线性方程组的解
#22解答题来源：302-2026
已知向量组 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}$，$\alpha_3 = \begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_4 = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$， 记 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G = (\alpha_1,\alpha_2)$。 (1) 证明：$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组； (2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。
线性无关分块矩阵初等变换与初等矩阵