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已知 $n$ 阶矩阵 $A$、$B$、$C$ 满足 $ABC = O$，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。记矩阵 $\begin{pmatrix} O & A \\ BC & E \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} AB & C \\ O & E \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} E & AB \\ AB & O \end{pmatrix}$ 的秩分别为 $r_1$、$r_2$、$r_3$，则

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵成为置换矩阵。设$A$为$n$阶置换矩阵, $A^*$为$A$的伴随矩阵,则 ( )

设矩阵 $A = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&1&3\\1&1&1\end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix}2&0\\1&1\\1&1\\a&b\end{pmatrix}$。若存在矩阵 $B$ 满足 $AB = C$，则 ( )

设$A$为三阶矩阵，$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$，若$P^{T}AP^{2}=\begin{pmatrix}a+2c&0&c\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix}$，则$A=$( )

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，下列不成立的是（）

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) + r(\boldsymbol{C}) = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) + 2n$, 给出下列四个结论: ① $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) + n = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) + r(\boldsymbol{C})$; ② $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) + n = r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})$; ③ $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{C}) = n$; ④ $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) = n$。其中正确结论的序号是

已知矩阵 $A=\left(\begin{matrix}1&0&-1\\2&-1&1\\-1&2&-5\end{matrix}\right)$，若存在下三角可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$，使 $PAQ$ 为对角矩阵，则 $P,Q$ 可以分别取（ ）。

设 $A$ 为三阶矩阵, $P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, 若 $P^{T}AP^{2}=\begin{pmatrix} a+2c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2c & 0 & c \end{pmatrix}$, 则矩阵 $A$ 为( )

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ 的是 $(\ )$

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$。若存在矩阵 $B$ 满足 $AB = C$，则 ( )

已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&-1&1\\-1&2&-5\end{array}\right)$.若下三角可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$,使得 $PAQ$ 为对角矩阵,则 $P,Q$ 可以分别取( ).

设$A$为3阶矩阵，交换$A$的第2行和第3行，再将第2列的$-1$倍加到第1列，得到矩阵$\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则$A^{-1}$的迹$tr(A^{-1}) = \underline{\qquad}.$

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $A$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第 $1$ 列，得到矩阵 $\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$，则 $A^{-1}$ 的迹 $tr(A^{-1})=\underline{\qquad}$.

设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-1&0&-1\\1&1&0&3\\2&1&2&6\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\1&-1&a&a-1\\2&-3&2&-2\end{pmatrix}$,向量$\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$,$\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. (Ⅰ) 证明:方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$的解均为方程组$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$的解; (Ⅱ) 若方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$与方程组$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$不同解,求$a$的值.

设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3 \end{pmatrix}$的秩为2. （Ⅰ）求$a$的值； （Ⅱ）求$A$的列向量组的一个极大线性无关组$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$，并求矩阵$H$，使得$A = GH$，其中$G = (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$.

已知向量组 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}$，$\alpha_3 = \begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_4 = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$， 记 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G = (\alpha_1,\alpha_2)$。 (1) 证明：$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组； (2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。