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在空间直角坐标系 $O - xyz$ 中, 三张平面 $\pi_i: a_i x + b_i y + c_i z = d_i \quad (i=1,2,3)$ 的位置关系如图所示, 记 $\alpha_i = (a_i,b_i,c_i)$, $\beta_i = (a_i,b_i,c_i,d_i)$, 若 $r\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{pmatrix}=m$, $r\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{pmatrix}=n$, 则()

已知$A$是$m\times n$矩阵，$\beta$是$m$维非零向量.若$A$有$k$阶非零子式，则

设矩阵 $A = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&1&3\\1&1&1\end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix}2&0\\1&1\\1&1\\a&b\end{pmatrix}$。若存在矩阵 $B$ 满足 $AB = C$，则 ( )

设$A,B$为$n$阶矩阵,$E$为$n$阶单位矩阵,若方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解,则( ).

设向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\b\\a\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则()

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是 $n$ 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}$。在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中, 关于 $x,y,z$ 的方程组 $x\boldsymbol{\alpha}_1 + y\boldsymbol{\alpha}_2 + z\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_4$ 的几何图形是

设$A$、$B$为$n$阶矩阵, $\beta$是$n$维列向量,若$A$的列向量组可由$B$的列向量组表示,则 ( )

设$A=(a_1,a_2,a_3,a_4)^T$为4阶正交矩阵，$B=\begin{pmatrix}a_1^T\\a_2^T\\a_3^T\end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，$k$表示任意常数，则线性方程组$BX=\beta$的通解$X$=（ ）。

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & a & a^2 \\1 & b & b^2\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\2 \\4\end{pmatrix}$,则线性方程组 $Ax=b$ 的解的情况为

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$，若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）

已知向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\beta_1 = \begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}$, $\beta_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示，则 $\gamma =$

设 $A$ 是秩为2的3阶矩阵, $\alpha$ 是满足 $A\alpha = 0$ 的非零向量, 若对满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的3维列向量 $\beta$, 均有 $A\beta = \beta$, 则()

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价,则 $\lambda$ 的取值范围是

已知向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. 若$\gamma$既可由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示, 也可由$\beta_1,\beta_2$线性表示, 则$\gamma=$

设3阶矩阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$,若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 可以由向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性表出,则( ).

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&a^{2}\\1&b&b^{2}\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$, 则线性方程组 $Ax=b$ 的解的情况为( )

设 $A$ 为四阶矩阵, $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 若 $A(A-A^{*})=O$, 且 $A\ne A^{*}$, 则 $r(A)$ 的可能取值为( )

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$。若存在矩阵 $B$ 满足 $AB = C$，则 ( )

设 $\alpha_{1}=(\lambda,1,1)^{T},\alpha_{2}=(1,\lambda,1)^{T},\alpha_{3}=(1,1,\lambda)^{T},\alpha_{4}=(1,\lambda,\lambda^{2})^{T}$, 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 与 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}$ 等价, 则 $\lambda$ 的取值范围是( )

已知向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示,也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示,则 $\gamma=( )$

设 $3$ 阶矩阵 $A,B$ 满足 $r(AB)=r(BA)+1$，则 $(\ )$

已知向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$, $\gamma = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$。若 $\gamma^T\alpha_i = \beta^T\alpha_i(i=1,2,3)$，则 $k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = \underline{\qquad}$。

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7 \end{pmatrix}$, 若方程组 $\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 与 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 不同解, 则 $a - b =$ $\underline{\qquad}$。

已知线性方程组$\begin{cases} a x_1 + a x_2 + x_3 = 1, \\ x_1 + a x_2 + x_3 = 0, \\ x_1 + 2 x_2 + a x_3 = 0, \\ a x_1 + b x_2 = 2 \end{cases}$有解,其中$a,b$为常数.若$\begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = 4$,则$\begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0 \end{vmatrix} = \underline{\qquad}$

已知线性方程组 $\begin{cases} ax_{1}+x_{3}=1\\ x_{1}+ax_{2}+x_{3}=0\\ x_{1}+2x_{2}+ax_{3}=0\\ ax_{1}+bx_{2}=2 \end{cases}$ 有解，其中 $a,b$ 为常数.若 $\left|\begin{matrix}a&0&1\\1&a&1\\1&2&a\end{matrix}\right|=4$，则 $\left|\begin{matrix}1&a&1\\1&2&a\\a&b&0\end{matrix}\right|=\underline{\qquad}$.

设矩阵$A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})$，若$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，且$\alpha_{1}+\alpha_{2}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$，则方程组$Ax=\alpha_{1}+4\alpha_{4}$的通解为$x=\underline{\qquad}$。

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$, 已知1是 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的重根。(1) 求 $a$ 的值;(2) 求所有满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} + 2\boldsymbol{\beta}$ 的非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$。

设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-1&0&-1\\1&1&0&3\\2&1&2&6\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\1&-1&a&a-1\\2&-3&2&-2\end{pmatrix}$,向量$\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$,$\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. (Ⅰ) 证明:方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$的解均为方程组$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$的解; (Ⅱ) 若方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$与方程组$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$不同解,求$a$的值.

设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3 \end{pmatrix}$的秩为2. （Ⅰ）求$a$的值； （Ⅱ）求$A$的列向量组的一个极大线性无关组$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$，并求矩阵$H$，使得$A = GH$，其中$G = (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$.

已知向量组 $$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix},\quad \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix},\quad \alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix},\quad \alpha_4 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix},$$ 记 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，$G = (\alpha_1, \alpha_2)$。 (1) 证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组。 (2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。