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二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$ 的正惯性指数

设向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\b\\a\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则()

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & a & a^2 \\1 & b & b^2\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\2 \\4\end{pmatrix}$,则线性方程组 $Ax=b$ 的解的情况为

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_1+x_3)^2-4(x_2-x_3)^2$ 的规范形为

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$，若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价,则 $\lambda$ 的取值范围是

设$A=\begin{pmatrix}a+1 & b & 3 \\a & \dfrac{b}{2} & 1 \\1 & 1 & 2\end{pmatrix},M_{ij}$为$a_{ij}$余子式,若$|A|=-\dfrac{1}{2},-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$,则

设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&-a\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&0\\1&a\end{pmatrix}$, 若$f(x,y)=|xA+yB|$是正定二次型,则$a$的取值范围是

设矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{pmatrix}$ 有一个正特征值和两个负特征值，则 $(\ )$

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&a^{2}\\1&b&b^{2}\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$, 则线性方程组 $Ax=b$ 的解的情况为( )

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ 的是 $(\ )$

设 $\alpha_{1}=(\lambda,1,1)^{T},\alpha_{2}=(1,\lambda,1)^{T},\alpha_{3}=(1,1,\lambda)^{T},\alpha_{4}=(1,\lambda,\lambda^{2})^{T}$, 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 与 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}$ 等价, 则 $\lambda$ 的取值范围是( )

设实矩阵 $A = \begin{pmatrix}a+1 & a \\a & a\end{pmatrix}$, 若对任意实向量 $\alpha = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$, $(\alpha^T A \beta)^2 \leq \alpha^T A \alpha \cdot \beta^T A \beta$ 都成立, 则 $a$ 的取值范围是$\underline{\qquad}$

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7 \end{pmatrix}$, 若方程组 $\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 与 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 不同解, 则 $a - b =$ $\underline{\qquad}$。

设矩阵$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&a&2\\0&2&a\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}a&-1&-1\\-1&2&1\\-1&-1&a\end{pmatrix},$$记$m(X)$为3阶矩阵$X$的实特征值中的最大值。若$m(A) < m(B)$, 则$a$的取值范围为$\underline{\qquad}.$

多项式 $f(x) = \begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x \end{vmatrix}$ 中 $x^3$ 项的系数为 $\underline{\qquad}$.

设$A$为3阶矩阵，交换$A$的第2行和第3行，再将第2列的$-1$倍加到第1列，得到矩阵$\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则$A^{-1}$的迹$tr(A^{-1}) = \underline{\qquad}.$

已知线性方程组$\begin{cases} a x_1 + a x_2 + x_3 = 1, \\ x_1 + a x_2 + x_3 = 0, \\ x_1 + 2 x_2 + a x_3 = 0, \\ a x_1 + b x_2 = 2 \end{cases}$有解,其中$a,b$为常数.若$\begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = 4$,则$\begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0 \end{vmatrix} = \underline{\qquad}$

已知$f(x)=\begin{vmatrix}2x+1&3&2x+1&1\\2x&-3&4x&-2\\2x+1&2&2x+1&1\\2x&-4&4x&-2\end{vmatrix}$,$g(x)=\begin{vmatrix}2x+1&1&2x+1&3\\5x+1&-2&4x&-3\\0&1&2x+1&2\\0&-2&4x&-4\end{vmatrix}$,则方程$f(x)=g(x)$的不同的根的个数为$\underline{\qquad}$.

$A$为$3$阶矩阵,$A^*$为其伴随矩阵,$E$为单位矩阵,且$r(2E-A)=1,r(E+A)=2$,则$|A^*|=\underline{\qquad}$.

多项式 $f(x)=\left|\begin{matrix} x & x & 1 & 2x\\ 1 & x & 2 & -1\\ 2 & 1 & x & 1\\ 2 & -1 & 1 & x \end{matrix}\right|$ 中 $x^{3}$ 项的系数为 $\underline{\qquad}$.

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $A$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第 $1$ 列，得到矩阵 $\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$，则 $A^{-1}$ 的迹 $tr(A^{-1})=\underline{\qquad}$.

已知线性方程组 $\begin{cases} ax_{1}+x_{3}=1\\ x_{1}+ax_{2}+x_{3}=0\\ x_{1}+2x_{2}+ax_{3}=0\\ ax_{1}+bx_{2}=2 \end{cases}$ 有解，其中 $a,b$ 为常数.若 $\left|\begin{matrix}a&0&1\\1&a&1\\1&2&a\end{matrix}\right|=4$，则 $\left|\begin{matrix}1&a&1\\1&2&a\\a&b&0\end{matrix}\right|=\underline{\qquad}$.

设向量 $a_{1}=\left(\begin{array}{c}a\\1\\-1\\1\end{array}\right)$, $a_{2}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\b\\a\end{array}\right)$, $a_{3}=\left(\begin{array}{c}1\\a\\-1\\1\end{array}\right)$, 若 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则 $ab=\underline{\qquad}$.