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下列 4 个条件中，3 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的一个充分非必要条件是( )

设$A$为$3$阶矩阵，$\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为$1$，$-1$，$0$的充分必要条件是( )

下列矩阵不能相似于对角矩阵的是（）

设$A$为3阶矩阵，则“$A^3 - A^2$可对角化”是“$A$可对角化”的

已知矩阵 $A=\left(\begin{matrix}1&0&-1\\2&-1&1\\-1&2&-5\end{matrix}\right)$，若存在下三角可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$，使 $PAQ$ 为对角矩阵，则 $P,Q$ 可以分别取（ ）。

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵, $\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, 则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是( )

设 $A,B$ 均为 $2$ 阶矩阵, 且 $AB=BA$, 则“$A$ 有两个不相等的特征值”是“$B$ 可对角化”的( )

设 3 阶矩阵 $A$，$B$，满足 $AB + BA = A^2 + B^2$，且 $A \neq B$。下列结论错误的是 ( )

已知 $A=\begin{pmatrix}a&1&-1\\1&a&-1\\-1&-1&a\end{pmatrix}$。(I)求正交矩阵 $P$，使得 $P^TAP$ 为对角矩阵；(II)求正定矩阵 $C$，使得 $C^2=(a+3)E-A$。

已知数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$, $\{z_n\}$ 满足 $x_0 = -1$, $y_0 = 0$, $z_0 = 2$, 且 $\begin{cases}x_n = -2x_{n-1} + 2z_{n-1}\\y_n = -2y_{n-1} - 2z_{n-1}\\z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1}\end{cases}$ 记 $\alpha_n = \begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}$, 写出满足 $\alpha_n = A\alpha_{n-1}$ 的矩阵 $A$, 并求 $A^n$ 及 $x_n$, $y_n$, $z_n$。

设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{pmatrix}$仅有两个不同的特征值,若$\boldsymbol{A}$相似于对角矩阵,求$a,b$的值,并求可逆矩阵$\boldsymbol{P}$,使$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$为对角矩阵.

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2 + 4x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_3$. ( I ) 求正交变换$x = Qy$将$f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形; ( II ) 证明: $\min\limits_{x \neq 0} \dfrac{f(x)}{x^{\mathrm{T}}x} = 2$.

设矩阵$A$满足：对任意$x_1,x_2,x_3$均有$A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\2x_1-x_2+x_3\\x_2-x_3\end{pmatrix}$。 （Ⅰ）求$A$； （Ⅱ）求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP = \Lambda$。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1x_3$。 (I) 求正交变换$x=Qy$将$f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形； (II) 证明:$\min_{x\neq 0}\frac{f(x)}{x^Tx}=2$.

设矩阵$A$满足：对任意$x_1,x_2,x_3$均有 $A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\2x_1-x_2+x_3\\x_2-x_3\end{pmatrix}$。 （I）求$A$； （II）求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$。

设矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b\end{pmatrix}$仅有两个不同的特征值，若$A$相似于对角矩阵，求$a,b$的值，并求可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP$为对角矩阵。