设$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{\ln x} = 1$,则( ).

设$f(u)$可导,$z=xyf(\frac{y}{x})$,若$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = xy(\ln y - \ln x)$,则( ).

设$-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$,则( )

$I_1=\int_{0}^{1} \frac{x}{2(1+\cos x)}dx,\ I_2=\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+\cos x}dx,\ I_3=\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+\sin x}dx$,则

下列 4 个条件中，3 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的一个充分非必要条件是( )

设$A,B$为$n$阶矩阵,$E$为$n$阶单位矩阵,若方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解,则( ).

设 $\alpha_1=(\lambda,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda)^T,\alpha_4=(1,\lambda,\lambda^2)^T$，若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）

设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,3)$ 上的均匀分布，随机变量 $Y$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布，且 $X$ 与 $Y$ 的协方差为 $-1$，则 $D(2X-Y+1)=()$

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 独立同分布，且 $X_1$ 的 $4$ 阶矩存在，$E(X_1^k)=\mu_k(k=1,2,3,4)$，则根据切比雪夫不等式，对任意 $\varepsilon>0$，都有 $P\left\{\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\mu_2\right|\geq \varepsilon\right\}\leq ()$

设随机变量 $X\sim N(0,1)$，若在 $X=x$ 的条件下，随机变量 $Y\sim N(x,1)$，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为()

函数 $f(x,y)=x^2+2y^2$ 在点 $(0,1)$ 处的最大方向导数为 $\underline{\qquad}$。

$\int_{1}^{e^2}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=\underline{\qquad}$。

当 $x\geq 0,y\geq 0$ 时，$x^2+y^2\leq ke^{x+y}$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$。

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{n^n}e^{-nx}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$，则 $a=\underline{\qquad}$。

已知矩阵 $A$ 和 $E-A$ 可逆，其中 $E$ 为单位矩阵，若矩阵 $B$ 满足 $[E-(E-A)^{-1}]B=A$，则 $B-A=\underline{\qquad}$。

设 $A,B,C$ 为随机事件，且 $A$ 与 $B$ 互不相容，$A$ 与 $C$ 互不相容，$B$ 与 $C$ 相互独立，$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$，则 $P(B\cup C\mid A\cup B\cup C)=\underline{\qquad}$。

设函数$y(x)$是微分方程$y'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$满足条件$y(1)=3$的解，求曲线$y=y(x)$的渐近线。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid y-2\le x\le \sqrt{4-y^{2}},\ 0\le y\le 2\}$，计算$I=\iint_{D}\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dxdy$。

已知$\Sigma$为曲面$4x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0)$的上侧，$L$为$\Sigma$的边界曲线，其正向与$\Sigma$的法向量满足右手法则，计算曲线积分 $I=\int_{L}(yz^{2}-\cos z)\,dx+2xz^{2}\,dy+(2xyz+x\sin z)\,dz$。

设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有$2$阶连续导数，证明：$f''(x)\ge 0$的充分必要条件是对不同的实数$a,b$，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$。

已知二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}ijx_{i}x_{j}$ (I)写出$f(x_{1},x_{2},x_{3})$对应的矩阵； (II)求正交变换$x=Qy$将$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形； (III)求$f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$的解。

设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta(\theta>0)$是未知参数，利用样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$，求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$，并求$D(\hat{\theta})$。