曲线 $y = x\ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 的渐近线方程为（）。

若微分方程 $y'' + ay' + by = 0$ 的解在 $(-\infty, +\infty)$ 上有界，则（）

设函数 $y = f(x)$ 由 $\begin{cases} x = 2t + |t| \\ y = |t|\sin t \end{cases}$ 确定，则（）

已知 $a_n < b_n(n=1,2,\cdots)$，若级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 与 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 均收敛，则“级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 绝对收敛”是“级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 绝对收敛”的（）

已知 $n$ 阶矩阵 $A$、$B$、$C$ 满足 $ABC = O$，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。记矩阵 $\begin{pmatrix} O & A \\ BC & E \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} AB & C \\ O & E \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} E & AB \\ AB & O \end{pmatrix}$ 的秩分别为 $r_1$、$r_2$、$r_3$，则

下列矩阵不能相似于对角矩阵的是（）

已知向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\beta_1 = \begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}$, $\beta_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示，则 $\gamma =$

设随机变量 $X$ 服从参数为1的泊松分布，则 $E(|X - EX|) =$（）

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$ 为来自总体 $N(\mu,2\sigma^2)$ 的简单随机样本，且两样本之间相互独立。记 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, $\overline{Y} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i$, $S_1^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$, $S_2^2 = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m (Y_i - \overline{Y})^2$。则（）

设 $X_1,X_2$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma > 0)$ 是未知参数，若 $\hat{\sigma} = a|X_1 - X_2|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计，则 $a =$（）

当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = ax + bx^2 + \ln(1 + x)$ 与 $g(x) = e^{x^2} - \cos x$ 是等价无穷小，则 $ab = \underline{\qquad}$。

曲面 $z = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为$\underline{\qquad}$。

设 $f(x)$ 是周期为2的周期函数，且 $f(x) = 1 - x, x \in [0,1]$，若 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\pi x$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_{2n} = \underline{\qquad}$。

设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x + 2) - f(x) = x$, $\int_0^2 f(x)dx = 0$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\qquad}$。

已知向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$, $\gamma = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$。若 $\gamma^T\alpha_i = \beta^T\alpha_i(i=1,2,3)$，则 $k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = \underline{\qquad}$。

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim B(1,\frac{1}{3})$, $Y \sim B(2,\frac{1}{2})$ 则 $P\{X = Y\} = \underline{\qquad}$。

设曲线 $y = y(x)(x > 0)$ 经过点 $(1,2)$，该曲线上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距。 (1) 求 $y(x)$； (2) 求函数 $f(x) = \int_1^x y(t)dt$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值。

求函数 $f(x,y) = (y - x^2)(y - x^3)$ 的极值。

设空间有界区域 $\Omega$ 由柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z = 0$ 和 $x + z = 1$ 围成。$\Sigma$ 为 $\Omega$ 的边界曲面的外侧。计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma}2xzdydz + xz\cos ydzdx + 3yz\sin xdxdy$。

设函数 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上具有2阶连续导数。证明: (1) 若 $f(0) = 0$，则存在 $\xi \in (-a,a)$，使得 $f''(\xi) = \frac{1}{a^2}[f(a) + f(-a)]$； (2) 若 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in (-a,a)$，使得 $|f''(\eta)| \geq \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|$。

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3$，$g(y_1,y_2,y_3) = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + 2y_2y_3$ (1) 求可逆变换 $x = Py$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$ (2) 是否存在正交变换 $x = Qy$ 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化成 $g(y_1,y_2,y_3)$

设二维随机变量 $(x,y)$ 的概率密度为 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{2}{\pi}(x^2 + y^2), & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & 其他 \end{cases}$ (1) 求 $X$ 与 $Y$ 的协方差； (2) 求 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立； (3) 求 $Z = X^2 + Y^2$ 的概率密度。