已知函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} \sin t dt$, $g(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x$, 则

已知级数: ① $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n^3\pi}{n^2+1}$; ② $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} - \tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \right)$, 则

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则

设函数 $f(x,y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^{2} dx \int_{4-x^2}^{4} f(x,y) dy =$

二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$ 的正惯性指数

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是 $n$ 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}$。在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中, 关于 $x,y,z$ 的方程组 $x\boldsymbol{\alpha}_1 + y\boldsymbol{\alpha}_2 + z\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_4$ 的几何图形是

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) + r(\boldsymbol{C}) = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) + 2n$, 给出下列四个结论: ① $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) + n = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) + r(\boldsymbol{C})$; ② $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) + n = r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})$; ③ $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{C}) = n$; ④ $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) = n$。其中正确结论的序号是

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(0,0;1,1;\rho)$, 其中 $\rho \in (-1,1)$。若 $a,b$ 为满足 $a^2 + b^2 = 1$ 的任意实数, 则 $D(aX + bY)$ 的最大值为

设 $X_1,X_2,\cdots,X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本.令 $T = \sum_{i=1}^{20} X_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu,2)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$, $\bar{x}$ 为 $\bar{X}$ 的观察值, $z_\alpha$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数, 假设检验问题: $H_0: \mu \leq 1, H_1: \mu > 1$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为（）.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - 1}{\ln x \cdot \ln(1 - x)} =$

已知函数 $f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x < \frac{1}{2} \\ x^2, & \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{cases}$ 的傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\pi x$, $S(x)$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\pi x$ 的和函数, 则 $S\left(-\frac{7}{2}\right) =$ $\underline{\qquad}$.

已知函数 $u(x,y,z) = xy^2z^3$, 向量 $\boldsymbol{n} = (2,2,-1)$, 则 $\left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(1,1,1)} =$

已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y = 1 - x^2$ 从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的一段, 则曲线积分 $\int_{L} (y + \cos x)dx + (2x + \cos y)dy =$ $\underline{\qquad}$。

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7 \end{pmatrix}$, 若方程组 $\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 与 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 不同解, 则 $a - b =$ $\underline{\qquad}$。

设 $A,B$ 为两个不同的随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 相互独立, 已知 $P(A) = 2P(B)$, $P(A \cup B) = \frac{5}{8}$, 则在 $A,B$ 至少有一个发生的条件下, $A,B$ 中恰有一个发生的概率为$\underline{\qquad}$。

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x^2 - 2x + 2)} dx$。

已知函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内具有2阶导数, 记 $g(x,y) = f\left(\frac{x}{y}\right)$, 若 $g(x,y)$ 满足 $x^2\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + xy\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y} + y^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 1$, 且 $g(x,x) = 1$, $\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)} = \frac{2}{x}$, 求 $f(u)$。

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导.证明导函数 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是:对 $(a,b)$ 内任意的 $x_1,x_2,x_3$, 当 $x_1 < x_2 < x_3$ 时 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 -x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 -x_2}$。

设 $\Sigma$ 是由直线 $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ 绕直线 $\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$（$t$ 为参数）旋转一周得到的曲面, $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x + y + z = 0$ 与平面 $x + y + z = 1$ 之间部分的外侧, 计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma_1} x \mathrm{d}y\mathrm{d}z + (y + 1) \mathrm{d}z\mathrm{d}x + (z + 2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$, 已知1是 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式的重根。(1) 求 $a$ 的值;(2) 求所有满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} + 2\boldsymbol{\beta}$ 的非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$。

投保人的损失事件发生时, 保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为 $Y = \begin{cases} 0, & X \leq 100, \\ X - 100, & X > 100. \end{cases}$ 设定损事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} \frac{2 \times 100^2}{(100 + x)^3}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0. \end{cases}$ (1) 求 $P\{Y > 0\}$ 及 $EY$。(2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$, 假设 $N$ 服从参数为8的泊松分布, 在 $N = n$（$n \geq 1$）的条件下, $M$ 服从二项分布 $B(n,p)$, 其中 $p = P\{Y > 0\}$, 求 $M$ 的概率分布。