已知函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{\cos t} dt$, $g(x) = \int_{0}^{\sin x} e^{t^2} dt$, 则()

已知 $P = P(x,y,z)$, $Q = Q(x,y,z)$ 均连续, $\sum$ 为 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$, $x \leq 0$, $y \geq 0$ 的上侧, 则 $\iint_{\sum} Pdydz + Qdxdz =$

已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln(2 + x)$, 则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n} =$ ()

设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有定义, 且 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, 则()

在空间直角坐标系 $O - xyz$ 中, 三张平面 $\pi_i: a_i x + b_i y + c_i z = d_i \quad (i=1,2,3)$ 的位置关系如图所示, 记 $\alpha_i = (a_i,b_i,c_i)$, $\beta_i = (a_i,b_i,c_i,d_i)$, 若 $r\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{pmatrix}=m$, $r\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{pmatrix}=n$, 则()

设向量 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$, $\alpha_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\b\\a\end{pmatrix}$, $\alpha_3 = \begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}$, 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则()

设 $A$ 是秩为2的3阶矩阵, $\alpha$ 是满足 $A\alpha = 0$ 的非零向量, 若对满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的3维列向量 $\beta$, 均有 $A\beta = \beta$, 则()

设随机变量 $X$, $Y$ 相互独立, 且 $X$ 服从正态分布 $N(0,2)$, $Y$ 服从正态分布 $N(-2,2)$, 若 $P\{2X + Y < a\} = P\{X > Y\}$, 则 $a = ()$

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases}2(1-x), & 0 < x < 1 \\0, & 其它\end{cases}$ 在 $X = x \ (0 < x < 1)$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 服从区间 $(x,1)$ 上的均匀分布, 则 $\text{Cov}(X,Y) =$ ()

设随机变量 $X,Y$ 相互独立, 且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 令 $Z = |X-Y|$, 则下列随机变量与 $Z$ 同分布的是 ()

若 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+ax^2)^{\sin x} - 1}{x^3} = 6$, 则 $a =\underline{\qquad}$

设函数 $f(u,v)$ 具有2阶连续偏导数, 且 $df|_{(1,1)} = 3du + 4dv$, 令 $y = f(\cos x,1+x^2)$, 则 $\frac{d^2 y}{dx^2}\bigg|_{x=0} =\underline{\qquad}$

已知函数 $f(x) = x + 1$, 若 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$, $x \in [0,\pi]$, 则 $\lim_{n \to \infty} n^2 \sin a_{2n-1} =\underline{\qquad}$

微分方程 $y' = \frac{1}{(x+y)^2}$ 满足条件 $y(1)=0$ 的解为$\underline{\qquad}$

设实矩阵 $A = \begin{pmatrix}a+1 & a \\a & a\end{pmatrix}$, 若对任意实向量 $\alpha = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$, $(\alpha^T A \beta)^2 \leq \alpha^T A \alpha \cdot \beta^T A \beta$ 都成立, 则 $a$ 的取值范围是$\underline{\qquad}$

设随机试验每次成功的概率为 $P$, 现进行3次独立重复试验, 在至少成功1次的条件下,3次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$, 则 $P =\underline{\qquad}$

已知平面区域 $D = \{(x,y)|\sqrt{1 - y^2} \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\}$, 计算 $\iint_{D} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} dxdy$

已知函数 $f(x,y) = x^3 + y^3 - (x + y)^2 + 3$, 设 $T$ 是曲面 $z = f(x,y)$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面, $D$ 为 $T$ 与坐标平面所围成的有界区域在 $xOy$ 平面上的投影。(1) 求 $T$ 的方程；(2) 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值

设函数 $f(x)$ 具有2阶导数, 且 $f'(0) = f'(1)$, $|f''(x)| \leq 1$, 证明：(1) 当 $x \in (0,1)$ 时, $|f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x| \leq \frac{x(1 - x)}{2}$；(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) dx - \frac{f(0) + f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$

已知有向曲线L的球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 2x$ 与平面 $2x - z - 1 = 0$ 的交线, 从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向, 计算曲线积分 $\int_{L}(6xyz - yz^2)dx + 2x^2 z dy + xyz dz$

已知数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$, $\{z_n\}$ 满足 $x_0 = -1$, $y_0 = 0$, $z_0 = 2$, 且 $\begin{cases}x_n = -2x_{n-1} + 2z_{n-1}\\y_n = -2y_{n-1} - 2z_{n-1}\\z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1}\end{cases}$ 记 $\alpha_n = \begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}$, 写出满足 $\alpha_n = A\alpha_{n-1}$ 的矩阵 $A$, 并求 $A^n$ 及 $x_n$, $y_n$, $z_n$。

设总体 $X$ 服从 $[0,\theta]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta \in (0,+\infty)$ 为未知参数, $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$, $T_c = cX_{(n)}$。(1) 求 $c$, 使得 $T_c$ 是 $\theta$ 的无偏估计；(2) 记 $h(c) = E(T_c - \theta)^2$, 求 $c$ 使得 $h(c)$ 最小。