设函数 $z = z(x,y)$ 由方程 $x - az = e^{y+az}$ (a是非0常数)确定,则 ( )

幂级数 $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3+(-1)^n}{4}\right)^n x^{2n}$ 的收敛域是 ( )

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义,则 ( )

已知有界区域 $\Omega$ 由曲面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 与 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 围成,函数 $f(u)$ 连续,则 $\iiint_{\Omega} f(x^2 + y^2 + z^2) dx dy dz = $ ( )

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵成为置换矩阵。设$A$为$n$阶置换矩阵, $A^*$为$A$的伴随矩阵,则 ( )

设$A$、$B$为$n$阶矩阵, $\beta$是$n$维列向量,若$A$的列向量组可由$B$的列向量组表示,则 ( )

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。若方程 $f(x_1,x_2,x_3) = -1$ 表示的曲面为圆柱面,则 ( )

设随机变量 $X \sim N(1,2)$, 令 $f(t) = E[(X + t)^2]$, 则 $f(t)$ 的最小值点和最小值分别为 ( )

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F(ay + b)$, $X$ 的数学期望为 $\mu$, 方差为 $\sigma^2(\sigma>0)$, 若$Y$的数学期望和方差分别为0和1,则 ( )

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\} = \frac{1}{2^{k+1}} + \frac{1}{3^k} \ (k=1,2,\dots)$，则对于正整数$m$、$n$有 ( )

设向量 $\vec{v}_1=(0,x,z)$, $\vec{v}_2=(y,0,1)$, 令 $\vec{F}(x,y,z) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$, 则 $\text{div}\ \vec{F} = \underline{\qquad}.$

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x\sin x} \right) = \underline{\qquad}.$

设函数 $y = y(x)$ 由参数方程$\begin{cases}x=2\sin^2 t \\ y=t+\cos t\end{cases} \quad (t \in (0,\frac{\pi}{2}))$确定, 则 $\left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}} = \underline{\qquad}.$

设 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x+1)}{x^2} dx = \underline{\qquad}.$

设矩阵$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&a&2\\0&2&a\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}a&-1&-1\\-1&2&1\\-1&-1&a\end{pmatrix},$$记$m(X)$为3阶矩阵$X$的实特征值中的最大值。若$m(A) < m(B)$, 则$a$的取值范围为$\underline{\qquad}.$

设随机变量 $X$ 服从参数为1的泊松分布, 随机变量 $Y$ 服从参数为3的泊松分布, $X$与$Y-X$相互独立, 则 $E(XY) = \underline{\qquad}.$

求 $f(x,y) = (2x^2 - y^2)e^x$ 的极值。

设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有3阶连续导数, 且存在可微函数 $F(x,y)$ 使$$dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy \quad (xy>0).$$(1) 证明: $\frac{f''(u)}{u} - \frac{f'(u)}{u} = c$, $c$为常数;(2) 设 $f(1)=1$, $f'(1)=-1$, $f''(1)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式。

设有向曲线 $L$ 为椭圆 $x^2 + 3y^2 =1$ 上沿逆时针方向从点 $A(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 到点 $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 的部分, 计算曲线积分$I = \int_{L} \left(e^{x^2}\sin x - 2xy\right) dx + \left(6x - x^2 - y\cos^4 y\right) dy.$

设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^{1} f(x) dx =0$, 记 $a = \int_{0}^{1} f(x) dx$。(1) 证明: $a>0$;(2) 令 $F(x) = a(1-x^2) + \int_{1}^{x} f(t) dt$, 证明: 存在 $\xi \in (-1,1)$ 使 $F''(\xi)=0$。

已知向量组$$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}, \quad \alpha_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}, \quad \alpha_4=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix},$$记 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$, $G=(\alpha_1,\alpha_2)$。(1) 证明: $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组。(2) 求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$, 并求 $A^{10}$。

假设某种元件寿命服从指数分布, 其均值$\theta$是未知参数。为估计$\theta$, 取$n$个这种元件同时做寿命实验, 试验直到出现$k$ ($1 \leq k \leq n$)个元件失效时停止。(1) 若$k=1$, 失效元件寿命记为$T$,(i) 求$T$的概率密度;(ii) 确定$a$, 使 $\hat{\theta}=aT$是$\theta$的无偏估计, 并求$D(\hat{\theta})$;(2) 已知$k$个失效元件寿命值分别为$t_1,t_2,\cdots,t_k$, 且$t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$, 似然函数为$$L(\theta) = \frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^k t_i + (n-k)t_k\right]},$$求$\theta$的最大似然估计值。